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\ANG
{\mbox{}
\begin{center}
      \includegraphics[width=5cm]{08eh017_a1}
\end{center}
Gleiche W"urfel werden immer wieder zu neuen Quadern auf die oben dargestellte Weise aneinander gef"ugt.
Die Kantenl"ange eines W"urfels soll $x\,\mathrm{cm}$ betragen.
\begin{enumerate}
      \item Zeige: F"ur die Oberfl"ache $O_3$ des Quaders, der so aus drei W"urfeln zusammengef"ugt ist, gilt
            $\,\,O_3(x)=14x^2\,\mathrm{cm^2}$.
      \item Zeige: F"ur die Oberfl"ache $O_4$ eines aus vier W"urfeln zusammengesetzten Quaders
            gilt $\,\,O_4(x)=18x^2\,\mathrm{cm^2}$.
      \item Die Oberfl"ache $O_4$ eines aus vier W"urfeln zusammengesetzten Quaders soll
            $21,78\,\mathrm{dm^2}$ betragen. Berechne $x$.
      \item Beschreibe, wie du $O_{100}$ in Abh"angigkeit von $x$ berechnest. Gib dein Ergebnis in m"oglichst
            einfacher Form an.
      \item Aus wie vielen W"urfeln mit der Kantenl"ange $x\,\mathrm{cm}$ setzt sich ein Quader mit der
            Oberfl"ache $78x^2\,\mathrm{cm^2}$ zusammen?
      \item Untersuche, ob man mit solchen W"urfeln auf dieses Weise einen Quader mit einer Oberfl"ache von 
            $10x^2\,\mathrm{dm^2}$ zusammenbauen kann.
\end{enumerate}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
      \item Die Oberfl"ache der beiden Endst"ucke links und rechts betr"agt zusammen 
            $2\cdot 5\cdot (x\,\mathrm{cm})^2=10x^2\,\mathrm{cm^2}$.\\
	    Hinzu kommt ein Mittelst"uck, das sich aus vier Quadraten zusammensetzt:
	    $4\cdot(x\,\mathrm{cm})^2=4\,\mathrm{cm^2}$. Also sind es zusammen $14x^2\,\mathrm{cm^2}$.
      \item Zu dem vorigen Quader aus drei W"urfeln kommt noch ein Mittelst"uck hinzu:\\
            $O_4=14x^2\,\mathrm{cm^2}+4x^2\,\mathrm{cm^2}=14x^2\,\mathrm{cm^2}$.
      \item $21,78\,\mathrm{dm^2}=2178\,\mathrm{cm^2}$\\
            $2178=18x^2\,\mid\,:18\quad\Leftrightarrow\quad x^2=121\quad\Leftrightarrow\quad
	    x=11$\\
	    Die Kantenl"ange eines W"urfels betr"agt also $11\,\mathrm{cm}$.
      \item Die Reihe aus 100 W"urfeln besteht aus zwei Endst"ucken und 98 Mittelst"ucken.\\
            Die Oberfl"ache eines Endst"uckes betr"agt $5\cdot x^2\,\mathrm{cm^2}$, die eines Mittelst"uckes
	    betr"agt $4\cdot x^2\,\mathrm{cm^2}$.
	    Also folgt: $O_{100}=2\cdot5\cdot x^2\,\mathrm{cm^2}+98\cdot 4\cdot x^2\,\mathrm{cm^2}=
	    402x^2\,\mathrm{cm^2}$. 
      \item Subtrahiere zun"achst die beiden Endst"ucke zu je $5\cdot x^2\,\mathrm{cm^2}$:\\
            $78x^2\,\mathrm{cm^2}-10\cdot x^2\,\mathrm{cm^2}=68x^2\,\mathrm{cm^2}$\\
	    Auf jedes Mittelst"uck entfallen $4\cdot x^2\,\mathrm{cm^2}$.\\
	    $68x^2\,\mathrm{cm^2}:4\cdot x^2\,\mathrm{cm^2}=17$ Mittelst"ucke.
	    Also besteht der Quader aus $19$ W"urfeln.
      \item $10x^2\,\mathrm{dm^2}=1000x^2\,\mathrm{cm^2}$.\\
            Subtrahiere wieder die beiden Endst"ucke. Dann bleiben $990x^2\,\mathrm{cm^2}$. Auf jedes
	    Mittelst"uck entfallen wieder $4\cdot x^2\,\mathrm{cm^2}$.
	    Weil aber $990x^2\,\mathrm{cm^2}:4x^2\,\mathrm{cm^2}$ keine ganze Zahl ergibt, kann es
	    diesen Quader nicht geben.
\end{enumerate}
}

