%Zu: 7I und 8II/III: Existenz von Dreiecken (Ungleichungen)
%Bilder: 07eh011mn08_1
\ANG
{%\mbox{}
	Es gilt:~~$x\in\QQ^+$.\\
	\begin{minipage}[m]{8.5cm}
		\begin{enumerate}
		\item	Zeichne das Dreieck~$ABC$~~f"ur~~$x=1$\,!
		\item	Berechne jeweils den Umfang des Drei-\\
				ecks~$ABC$~~f"ur~~$x\in \{1{,}5;\;1{,}\overline{6};\;2\tfrac{1}{8}\}$\,!\\
				Was stellst du fest? Ist das immer so?\\
				Begr"unde deine Antwort!
		\item	Unter allen m"oglichen Dreiecken~$ABC$ gibt es zwei gleichschenklige Dreiecke.\\
				Berechne jeweils alle Seitenl"angen!
		\item	Was ergibt sich f"ur $x=4$?	Bestimme alle Belegungen von $x$,
				f"ur die es "uberhaupt solch ein Dreieck~$ABC$ gibt!
		\end{enumerate}
	\end{minipage}
	\hfill
	\begin{minipage}[m]{4.5cm}
		\EPSBASIS{07eh011mn08_1}{6cm}{}
	\end{minipage}
}

\LSG
{\mbox{}
	Wir rechnen nur mit Ma"szahlen.	
	\begin{enumerate}
	\item	Die Dreiecksseiten sind~~$a=3\,cm,~b=6\,cm$~~und~~$c=4\,cm$ lang.
	\item	Wegen~~$(8\;-2\,x)\;+(2\;+x)\;+(3\;+x)\;=\;13$\\
			ist der Umfang immer konstant~$13\,cm$ lang.
	\item 	1.~Fall:~~$8\;-2\,x\;=\;2\;+x\quad\iff\quad x=2$\\
			$\phantom{\quad}\Rightarrow~~a=4\,cm$,~$b=4\,cm$~~und~~$c=5\,cm$.\\
			2.~Fall:~~$8\;-2\,x\;=\;3\;+x\quad\iff\quad x=1{,}\overline{6}$\\
			$\phantom{\quad}\Rightarrow~~a=3{,}\overline{6}\,cm$,~$b=4{,}\overline{6}\,cm$~~und~~$c=4{,}\overline{6}\,cm$.\\
			3.~Fall:~~$2\;+x\;=\;3\;+x$~~ist nicht erf"ullbar,\\
			$\phantom{\quad}\;$weil stets~~$2\;+x\;<\;3\;+x$~~gilt.
	\item	F"ur~~$x=4$~~wird~$|\overline{AC}|=0\,cm$,~~d.\,h.~das Dreieck entartet zur Strecke.\\
			Es muss~~$|\overline{AC}|>0$~~gelten und somit~~$0<x<4$~(*)~~sein.\\
			Gleichzeitig m"ussen alle Dreiecksungleichungen erf"ullt sein:\\
			1.~Bedingung:~~$(8\;-2\,x)\;+(3\;+x)\;>\;2\;+x\quad\iff\quad x<4{,}5$\\
			\phantom{1.~Bedingung:~~}ist wegen~(*) ohnehin erf"ullt.\\
			2.~Bedingung:~~$(8\;-2\,x)\;+(2\;+x)\;>\;3\;+x\quad\iff\quad x<3{,}5$~(**)\\
			3.~Bedingung:~~$(2\;+x)\;+(3\;+x)\;>\;8\;-2\,x\quad\iff\quad x>0{,}75$~(***)\\
			Mit~(**) und~(***) gibt es nur f"ur~~$0{,}75<x<3{,}5$~~solche Dreiecke~$ABC$.     
	\end{enumerate}
}
