%
\ANG
{\mbox{}
	\begin{center}
		\includegraphics{07eh027mn08_a.1}
    \end{center}
	Das gleichseitige Dreieck~$ABC$ liegt im Rechteck~$EBFD$.
	\begin{enumerate}
	\item	Zeichne die Figur f"ur $|\overline{AB}|=4\,cm$\,!
	\item	Begr"unde:~~Die Dreiecke~$ABS$, $SBC$ und $BFC$ sind kongruent!
	\item	Welchen Anteil der Fl"ache des Rechtecks~$EBFD$ nimmt das Dreieck~$ABC$ ein? Begr"unde!
	\end{enumerate}
}
  
\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{07eh027mn08_l1.1}
			\end{center}
			\begin{itemize}
			\item	Beginne mit dem Dreieck~$ABC$ und dem Mittelpunkt~$S$ der Seite~$\overline{AC}$\,!
			\item	Zeichne die Halbgerade~$[BS$ ein!
			\item	Die Parallele zu~$\overline{AB}$ durch den Punkt~$C$
					schneidet diese Parallele im Punkt~$D$.\\
					Der Rest ist klar.
			\end{itemize}
	\item	$\Delta ABS\cong\Delta SBC$, weil $BS$ eine Symmetrieachse ist.\\
			Die beiden rechtwinkligen Dreicke~$SBC$ und $BFC$ besitzen die Seite~$\overline{BC}$\\
			als gemeinsame Hypotenuse. Au"serdem gilt $\delta=90^\circ\;-60^\circ=30^\circ=\sphericalangle CBS$.\\
			Also sind alle drei fraglichen Dreiecke kongruent.
	\item	Es gilt:~~$\Delta DSC\cong\Delta ABS$.
			Begr"undung:~~Die beiden rechtwinkligen Dreiecke besitzen je
			einen $30^\circ$- und einen $60^\circ$-Winkel (Z-Winkel).
			Neben den drei Innenwinkeln stimmen diese beiden Dreiecke noch
			in den Kathetenl"angen~$|\overline{AS}|$ und $|\overline{SC}|$ "uberein.\\
			Also:~~$\Delta DSC\cong\Delta ABS$.\\
			Das Dreieck~$ABC$ ist in zwei kongruente Teil\-dreiecke zerlegt.
			Das rechtwinklige Dreieck~$DBF$ besteht aus drei kongruenten Teil\-dreiecken.
			Alle f"unf Teildreiecke sind kongruent.\\
			Weil $\Delta DBF\cong\Delta EBD$ gilt, ist das Rechteck~$EBFD$ damit
			in sechs dieser kon\-gruenten Teil\-dreiecke zerlegbar.\\
			Damit gilt:~~$\tfrac{A_{\Delta ABC}}{A_{EBFD}}=\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3}$\\
			{\bf Oder:}\\
			Die Hilfsline~$\overline{DA}$ veranschaulicht diesen Sachverhalt ohne weiteres:
			\begin{center}
				\includegraphics{07eh027mn08_l2.1}
			\end{center}
	\end{enumerate}
}
