%
\ANG
{
	Folgendes Viereck~$ABCD$ ist ein Quadrat.
	\begin{center}
		\includegraphics{08eh064mn_a1.1}
    \end{center}
	An seinen Eckpunkten befinden sich vier kleine Quadrate, deren Seitenl"ange jeweils $x\,cm$ betr"agt.
	Die vier Dreiecke an den Quadratseiten sind jeweils gleichschenklig-rechtwinkig.
	\begin{enumerate}
	\item 	Zeichne die Figur f"ur~~$|\overline{AB}|=6\,cm$~~und~~$x=1$\,!
	\item 	Zeige:~~F"ur den Fl"acheninhalt~$A\,(x)$ des eingef"arbten Kreuzes gilt\\
			\phantom{Zeige:~~}in Anh"angigkeit von $x$:
			\begin{center}
				$A\,(x)=(-8\,x^2\;+24\,x)\,cm^2$\,.
			\end{center}
	\item 	Berechne $A\,(0)$ und $A\,(3)$! Deute dein Ergebnis mit Hilfe deiner Zeichnung!
	\item 	Unter allen Kreuzen gibt es eines, dessen Fl"acheninhalt maximal ist.
			\begin{itemize}
			\item 	Berechne dieses Maximum sowie die zugeh"orige $x$-Belegung!
			\item 	Zeichne erneut das Quadrat~$ABCD$ mit dem einbeschriebenen gr"o"sten Kreuz!
			\item 	Wie viel Prozent der Fl"ache des Quadrates~$ABCD$ nimmt das gr"o"ste Kreuz ein?\\
					L"ose das Problem auf zwei verschiedene Arten!
			\end{itemize}
	\end{enumerate}
}
  
\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	Klar.
	\item	\begin{tabular}[t]{rcl}
				$A\,(x)$&= &$\left(6^2\;-4\,x^2\;-(6\;-2\,x)^2\right)\,cm^2$\\
						&= &$\left(36\;-4\,x^2\;-(36\;-24\,x\;+4\,x^2)\right)\,cm^2$\\
						&= &$\left(36\;-4\,x^2\;-36\;+24\,x\;-4\,x^2\right)\,cm^2$\\
						&= &$(-8\,x^2\;+24\,x)\,cm^2$.
			\end{tabular}
	\item	$A\,(0)=0\,cm^2$.\\
			Das zugeh"orige Kreuz entartet zu den beiden Diagonalen des Quadrates~$ABCD$.\\
			$A\,(3)=0\,cm^2$.\\
			Es entsteht ein Kreuz nur aus den Mittellinien des Quadrates~$ABCD$.\\
	\item	\begin{itemize}
			\item	\begin{tabular}[t]{rcl}
					$A\,(x)$&=	&$(-8\,x^2\;+24\,x)\,cm^2$\\
							&=	&$-8\cdot(x^2\;-3\,x\;+1{,}5^2\;-2{,}25)\,cm^2$\\
							&= 	&$-8\cdot\left((x\;-1{,}5)^2\;-2{,}25\right)\,cm^2$\\
							&= 	&$\left(-8\,(x\;-1{,}5)^2\;+18\right)\,cm^2$
					\end{tabular}\\
					$\phantom{\quad}\Rightarrow\quad A_{max}=18\,cm^2$~~f"ur~~$x=1{,}5$.
			\item	Zeichne das Quadrat~$ABCD$ erneut mit dem gr"o"sten Kreuz!
					\begin{center}
						\includegraphics{08eh064mn_l2.1}
					\end{center}
			\item	1.\,M"oglichkeit:~~Mit Hilfe der L"osung oben!\\
					\phantom{~~}$\frac{A_{Kreuz}}{A_{ABCD}}=\frac{18\,cm^2}{36\,cm^2}=0{,}5=50\,\%$.\\~\\
					2.\,M"oglichkeit:~~Die gestrichelten Hilfslinien zerlegen das Quadrat~$ABCD$\\
					\phantom{2.\,M"oglichkeit:~~}in $16$ kongruente kleine Quadrate!\\
					Im Zentrum des Kreuzes befinden sich $4$~gleich gro"se Quadrate. Der Rest des Kreuzes setzt sich aus $8$~kongruenten
					gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken zusammen, wobei jedes halb so gro"s wie ein Quadrat im Zentrum ist.
					Diese $8$~Dreiecke ergeben wiederum $4$~Quadrate. Also nimmt das Kreuz insgesamt den gleichen Fl"acheninhalt ein, wie $8$~kleine Quadrate.
					Das sind aber zusammen genau die H"alfte, also $50\,\%$ der Fl"ache des Quadrates~$ABCD$.
			\end{itemize}
	\end{enumerate}
}
