
%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh028_a.1}
      \end{center}
Ein Metallstab mit der L"ange $l$ soll an den Punkten $A$ und $B$ so abgeknickt werden, dass ein
gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck entsteht. Die Stabenden $P$ und $Q$ sollen sich dabei ber"uhren.
\begin{enumerate}
      \item Zeige: Dann muss gelten: $x=\D\frac{l}{2+\sqrt 2}$
      \item
      \begin{itemize}
            \item Begr"unde: $\D\frac{l}{2+\sqrt 2}=l-\D\frac{l}{2}\sqrt 2$
            \item Eine M"oglichkeit, die L"ange $x=l-\frac{l}{2}\sqrt 2$ aus der vorgegebenen Stabl"ange $l$
	          und damit die Knickpunkte $A$ und $B$ zu konstruieren, ist zusammen mit dem sich ergebenden
		  gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck $ABR$ unten dargestellt:\\
		  \begin{center}
                  \includegraphics{09eh028_a2.1}
                  \end{center}
	          Begr"unde, dass in dieser Konstruktion $x=l-\D\frac{l}{2}\sqrt 2$ gilt.
            \item Konstruiere die Knickpunkte $A$ und $B$ und das fertige Dreieck $ABR$ f"ur eine Stabl"ange von
	          $2,40\,\mathrm{m}$ im Ma"sstab 1:20. Beschreibe die Konstruktion.
      \end{itemize}
\end{enumerate}

}

\LSG{\mbox{}
\begin{enumerate}
      \item \mbox{}
            \begin{center}
            \includegraphics{09eh028_l01.1}
            \end{center}
            Die Hypotenuse $[AB]$ des Dreiecks $ABP$ bzw. $ABQ$ ist so lang wie die Diagonale eines Quadrates
	    mit der Seitenl"ange $x$, n"amlich $\overline{AB}= x\cdot\sqrt 2$.\\
	    Der Umfang dieses Dreiecks muss die Stabl"ange $l$ ergeben:\\
	    $x+x+x\sqrt 2 = l\quad\Leftrightarrow\quad x(2+\sqrt 2) = l\quad\Leftrightarrow\quad
	    x=\D\frac{l}{2+\sqrt 2}$\\
	    
      \item
            \begin{itemize}     
	    \item
	    $\D\frac{l}{2+\sqrt 2}= \D\frac{l}{2+\sqrt 2}\cdot\D\frac{2-\sqrt 2}{2-\sqrt 2}
	    =\D\frac{2l-l\sqrt 2}{2}=l-\D\frac{l}{2}\sqrt 2= x$,\\
	    
	    was zu zeigen war.
      \item Der THALES-Halbkreis unter der Strecke $[PQ]$ schneidet deren Sysmmetrieachse $s$ im Punkt $S$.\\
            Folglich sind die beiden Dreiecke $PSM$ und $SQM$ kongruente gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke, die
	    du zu einem Quadrat mit der Seitenl"ange $\overline{AM}=\overline{MQ}=\overline{MS}=\frac{l}{2}$
	    und der Diagonalenl"ange $\overline{PS}= \overline{QS}=\overline{PB}=\overline{QA}=\frac{l}{2}
	    \sqrt 2$ zusammenf"ugen k"onntest.\\
	    Dann besitzen aber die Strecken $[AQ]$ und $[BQ]$ jeweils die L"ange
	    
	    \centerline{$l-\frac{l}{2}\sqrt 2 = x$ (siehe oben).}
      \item Ein $2,40\,\mathrm{m}=240 \,\mathrm{cm}$ langer Metallstab ist im Ma"sstab 1:20 in deiner Zeichnung
            $240 \,\mathrm{cm}:20 = 12\,\mathrm{cm}$ lang.  
	    \begin{itemize}
	    \item[--]Zeichne die Mittelsenkrechte $s$ der Strecke $[PQ]$
	    \item[--]Zeichne den THALES-(Halb)Kreis $k_T$ unter der Strecke $[PQ]$
	    \item[--]$k_T\cap s = \{S\}$
	    \item[--]$k_1(P, r_1=\overline{PS})\cap [PQ] = \{B\}$
            \item[--]$k_2(Q, r_2=\overline{QS})\cap [PQ] = \{A\}$
	    \item[--]$k_3(B, r_3=\overline{BQ})\cap s = \{R\}$ oder $k_4(A, r_4=\overline{AP})\cap s = \{R\}$\\
	             oder $k_3\cap k_4=\{R\}$
	    \item[--]Das Dreieck $ABR$ ist das gesuchte.

	    \end{itemize}
	    \end{itemize}
\end{enumerate}
}                       
