%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh142_a1.1}
      \end{center}
Das Viereck $ABCD$ ist ein Quadrat. Der Mittelpunkt des Kreisbogens ist der Punkt $C$\,.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $\overline{AB}=6\,\mathrm{cm}$\,.
\item 
\begin{itemize}
\item Begr"unde rechnerisch: Das Viereck $SCDP$ ist ein achsensymmetrischer Drachen.
\item Besitzt dieses Drachenviereck einen Umkreis? Begr"unde deine Antwort.
\end{itemize}
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh142_l1.1}
      \end{center}
\item
\begin{itemize}
\item Es gilt: $\overline{CS}=\overline{CD}$\,.\qquad{\bf(*)}\\
Die Diagonalen $[AC]$ und $[BD]$ sind Halbierende der betreffenden rechten Innenwinkel.\\
Also folgt $\varphi=45^\circ$\,.\\
Wegen der Innenwinkelsumme im rechtwinkligen Dreieck $ASP$ gilt dann $\psi=45^\circ$\,.\\
Also ist das Dreieck $ASP$ gleichschenklig. Damit gilt:\\
$\overline{AS}=\overline{AC}-\overline{SC}=\overline{SP}=(6\sqrt2-6)\,\mathrm{cm}$\,.\\

Der Punkt $S'$ ist das Spiegelbild des Punktes $S$ an der Strecke $[AP]$\,. Das Dreieck $ASP$ ist somit die H"alfte eines Quadrates mit der Diagonalen $[AP]$\,.\\
Somit gilt: $\overline{AP}=\overline{AS}\cdot\sqrt2=(12-6\sqrt2)\,\mathrm{cm}$\,.\\
$\Rightarrow\quad\overline{DP}=\overline{AD}-\overline{AS}=[6-(12-6\sqrt2)]\,\mathrm{cm}
=(6\sqrt2-6)\,\mathrm{cm}=\overline{PS}=\overline{AS}$\,.\\
Mit {\bf(*)} ist erwiesen, dass es sich um einen achsensymmetrischen Drachen handelt.
\item Die Diagonale $[PC]$ des Drachens $SCDP$ zerlegt dieses Viereck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke. Somit liegen die Eckpunkte $S$, $C$, $D$ und $P$ dieses Vierecks auf dem THALES-Kreis mit dem Durchmesser $[SC]$\,. Dieser Kreis ist also der Umkreis des Drachenvierecks.
\end{itemize}
\end{enumerate}
}
