
%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh027_a.1}
      \end{center}
Auf der Kreislinie $k$ mit dem Mittelpunkt $M(0\mid 0)$ und dem Radius $4\,\mathrm{cm}$ liegen Punkte
$T_n$, die Ber"uhrpunkte von Kreisen $k_n$ mit dem Mittelpunkt $M_n(x\mid y)$ sind.
Alle diese Kreise $k_n$ ber"uhren jeweils auch die $x$-Achse.\\
Liegen die Punkte $T_n$ "uber der $x$-Achse, dann sollen die Ber"uhrkreise $k_n$ innerhalb des Kreises
$k$ liegen. Befinden sich die Punkte $T_n$ unter der $x$-Achse, dann sollen die Ber"uhrkreise $k_n$ au"serhalb
des Kreises $k$ liegen.\\
In der obigen Darstellung sind zwei Ber"uhrkreise $k_1$ und $k_2$ mit den Ber"uhrpunkten $T_1$ und
$T_2$ eingezeichnet. Am Ber"uhrpunkt $T_1$ ist die zugeh"orige Kreistangente $t_1$ und am Ber"uhrpunkt $T_2$
ist die zugeh"orige Kreistangente $t_2$ eingezeichnet.
\begin{enumerate}
      \item 
      \begin{itemize}
            \item Begr"unde: Der Mittelpunkt $M_1$ des Ber"uhrkreises $k_1$ muss auf der Halbierenden des Winkels
	          $T_1S_1M$ liegen.
            \item Weise durch die Konstruktion dieser Winkelhalbierenden $w_1$ nach, dass der Punkt $M_1$ richtig
	          eingezeichnet ist.
      \end{itemize}
      \item Konstruiere den Mittelpunkt $M_2$ der Kreislinie $k_2$.
      \item F"ur welche der Ber"uhrpunkte $T_n$ gibt es nur entartete Ber"uhrkreise?
      \item Alle Kreismittelpunkte $M_n$ liegen auf einer Parabel $p$.
      \begin{itemize}
            \item Beschreibe ohne Rechnung die Lage und die Eigenschaften der Parabel $p$ m"oglichst genau.
            \item Leite die Parabelgleichung aufgrund der Lage besonderer Punkte auf ihr her.\\
		  \centerline{[ Ergebnis: $p: y = -0,125x^2 + 2$ ]}
            \item Best"atige diese Parabelgleichung durch Rechnung mit Hilfe des Dreiecks $MF_1M_1$ als 
	          Stellvertreter aller begleitenden rechtwinkligen Dreiecke $MF_nM_n$.
      \end{itemize}
\item Wie viel Prozent des Fl"acheninhalts des Kreises $k$ wird von einem der Ber"uhrkreise bedeckt, dessen Mittelpunkt
      auf der Winkelhalbierendendes I. Quadranten liegt?
\end{enumerate}

}

\LSG{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh027_l1.1}
      \end{center}
\begin{enumerate}
      \item Der Mittelpunkt $M_1$ muss sowohl zur Tangente $t_1$ als auch zur $x$-Achse den gleichen
	    Abstand besitzen. Alle Punkte, die jeweils von diesen beiden Geraden mit dem Schnittpunkt $S_1$ den 
	    gleichen Abstand besitzen, liegen auf der Halbierenden $w_1$ des Winkels $T_1S_1F_1$. Diese Halbgerade
	    verl"auft dann durch den Punkt $M_1$.
       \item Die Tangente $t_2$ schneidet die $x$-Achse im Punkt $S_2$. Dort bildet die Tangente $t_2$ mit der 
             $x$-Achse einen stumpfen Winkel im III. Quadranten. Die Halbgerade $w_2$ halbiert diesen Winkel.
             Dann folgt: $[MT_2 \cap w_2 = \{M_2\}$.
       \item F"ur $T_3(4\mid 0)$ und $T_4(-4\mid 0)$ entarten die Ber"uhrkreise zu Punkten.\\
             F"ur $T_5(0\mid -4)$ liegt die zugeh"orige Kreistangente waagrecht. Der zugeh"orige Ber"uhrkreis m"usste
	     sich am Punkt $T_5(0\mid -4)$ nach unten kr"ummen. Er k"onnte dann die $x$-Achse niemals ber"uhren.\\
	     Mann k"onnte die Tangente noch als gigantischen \GF{Ber"uhrkreis} deuten, der die $x$-Achse rechts 
	     und links \GF{im Unendlichen} ber"uhrt.
       \item \begin{itemize}
             \item Wenn du den Ber"uhrkreis $k_1$ an der $y$-Achse spiegelst, dann erh"altst du einen Kreis $k_1'$ mit
	           dem Mittelpunkt $M_1'$, der die Kreislinie $k$ ebenfalls von innen ber"uhrt (siehe Zeichnung).
	           Also liegt der Punkt $M_1'$ ebenfalls auf der Parabel $p$. Dasselbe gilt nun f"ur das Spiegelbild
		   $M_2'$ des Mittelpunktes $M_2$ und damit f"ur alle denkbaren Kreismittelpunkte.\\
		   Daher ist die $y$-Achse die Symmetrieachse der Parabel $p$.\\
		   Je n"aher die Ber"uhrkreise im I. und II. Quadranten der $y$-Achse kommen, desto gr"o"ser wird deren
		   Durchmesser; d.h. desto h"oher liegen die zugeh"origen Kreismittelpunkte. Der Kreis $k_0$, dessen
		   Durchmesser auf der $y$-Achse liegt, ist am gr"o"sten; d.h. dessen Mittelpunkt $M_0(0\mid 2)$ liegt
		   am h"ochsten. Das muss dann der Parabelscheitel sein.\\
		   Wegen der Lage der Punkte $T_3$ und $T_4$ muss die Funktionsgleichung der Parabel die Nullstellen 4
		   und $-4$ besitzen.
	     \item 1. M"oglichkeit:\\
	           mit den beiden Nullstellen 4 und $-4$ sowie dem Scheitel $S(0\mid 2)$\\
	           $p: y = a\cdot (x-4)(x+4) \quad \wedge \quad S(0\mid 2) \in p$:\\
		   $ 2 = a\cdot (0-4)(0+4) \quad \Rightarrow \quad a = -0,125$.\\
		   Eingesetzt: $p: y = -0,125\cdot (x-4)(x+4) =  -0,125\cdot (x^2-16)\\
		   y = -0,125x^2 + 2$\\
		   2. M"oglichkeit:\\
		   mit den Scheitelkoordinaten $(0\mid 2)$ und z.B. dem Punkt $T_3\,(4\mid 0)$\\
		   $p: y = a\cdot (x-0)^2 + 2 \quad\wedge\quad T_3(4\mid 0)\in p$:\\
		   $0 = a\cdot(4-0)^2 + 2 \quad \Rightarrow \quad -2 = 16a \quad \Rightarrow \quad a = -0,125$ usw.
	     \end{itemize}
	     \item Dieser Kreis sei $k_6$ mit dem Mittelpunkt $M_6$.\\
	           Auf der Winkelhalbierenden des I. Quadranten gilt $y = x$. Mit dem Ergebnis in der Aufgabe (d) folgt
	           dann:\\
		   $x = -0,125x^2 + 2\quad$ mit $\GG = \RR^+\quad\Leftrightarrow\quad 0,125x^2+x-2=0$\\
		   
		   $\quad\Rightarrow\quad x_{1; 2} = \D\frac{-1\pm\sqrt 2}{0,25}$.\\
		   
		   Wegen $\GG = \RR^+$ muss das Minuszeichen im Z"ahler entfallen.\\
		   
		   Also: $x=\D\frac{\sqrt 2-1}{0,25}=4(\sqrt 2-1)$.\\
		   
		   $\D\frac{A_{k_6}}{A_k}= \D\frac{4^2(\sqrt 2-1)^2\cdot\pi}{4^2\pi}=3-2\sqrt 2\approx 17,16\%$
\end{enumerate}
}              

