
%
\ANG
{
 Gegeben ist die Parabelschar $p(a)$ mit der Gleichung $y=(x-2a)^2-a^2+3$
 auf $G = \RR \times \RR$ mit $a \in \RR$.
\begin{enumerate}
\item Begr"unde: Alle Parabeln der Schar sind Normalparabeln.
\item Zeichne f"ur $a\in \{-1;\,0;\,2\}$ die zugeh"origen Parabeln in ein Koordinatensystem.\\
      Platzbedarf: $-6 \LQ x \LQ 8$ und $-3 \LQ y \LQ 7$
\item Berechne die nach $y$ aufgel"oste Gleichung des Tr"agergraphen aller Scheitelpunkte.
      \begin{center}
      [ Ergebnis: $y = 0,25x^2 - 3$ ]
      \end{center}
\item Die Parabel $p_4$ besitzt die Gleichung $y= (x+1)^2+2,75$.\\
      Die Parabel $p_5$ besitzt die Gleichung $y= x^2-6x+8,75$.\\
      Die Parabel $p_6$ besitzt die Gleichung $y= x^2+10x+28,75$.\\
      Untersuche, ob diese drei Parabeln der Schar angeh"oren oder nicht.
\item Wie viele Parabeln enth"alt die Schar $p(a)$, welche die $x$-Achse ber"uhren? Begr"unde.
      
\end{enumerate}

}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item Vor dem binomischen Klammerterm steht heimlich der Formfaktor 1, egal, womit $a$ belegt
      wird. Also handelt es sich ausschlie"slich um nach oben ge"offenete Normalparabeln.
\item\mbox{}
     \begin{center}
     \includegraphics{09eh039.1}
     \end{center}
\item Es ist $x_S=2a\quad\Rightarrow\quad a=\D\frac{x_S}{2}\quad (1)$ und weiter gilt:
      $y_S=a^2-3$.\\
      Mit (1) folgt:$y_S=\D\frac{x_S^2}{4}-3=0,25x_S^2-3$.
\item Aus der Schargleichung folgt: Die Parabeln besitzen die Scheitelkoordinaten $(2a\mid
      a^2-3)$.\\
      Die Parabel $p_4$ besitzt den Scheitel $S_4(-1\mid 2,75)$.\\
      Es muss einerseits $2a=-1\quad\Leftrightarrow\quad a=-0,5$ gelten.\\
      Gleichzeitig muss $a^2-3=-2,75$ gelten. Das ist f"ur $a=-0,5$ (oder $a=0,5$) erf"ullt.
      Also geh"ort die Parabel $p_4$ der Schar an.\\
      Die Parabel $p_5$ besitzt den Scheitel $S_5(3\mid -0,75)$.\\
      Es muss einerseits $2a=3\quad\Leftrightarrow\quad a=1,5$ gelten.\\
      Gleichzeitig muss $a^2-3=-0,75$ gelten. Das ist f"ur $a=1,5$ (oder $a=0,5$) erf"ullt.
      Also geh"ort die Parabel $p_5$ der Schar an.\\
      Die Parabel $p_6$ besitzt den Scheitel $S_6(-5\mid 3,75)$.\\
      Es muss einerseits $2a=-5\quad\Leftrightarrow\quad a=-2,5$ gelten.\\
      Gleichzeitig muss $a^2-3=3,75$ gelten. Das ist f"ur $a=-2,5$ nicht erf"ullt.
      Also geh"ort die Parabel $p_6$ der Schar nicht an.\\    
\item Wenn eine dieser Parabeln die $x$-Achse ber"uhrt, dann liegt ihr Scheitel auf der $x$-Achse.
      Das ist dort der Fall, wo der Tr"agergraph aller Scheitelpunkte die $x$-Achse schneidet. Es
      gibt offensichtlich zwei solche Schnittpunkte.
\end{enumerate}
}              

