%
\ANG
{ Gegeben ist eine Parabelschar $p(a)$ mit der Gleichung $y=ax^2+x-a$ mit $a\in \RR \backslash\{0\}$.
\begin{enumerate}
\item Berechne die Scheitelkoordinaten in Abh"angigkeit von $a$.

      \centerline{$\left[\text{Ergebnis: }S\left(-\D\frac{1}{2a}\text{\huge $\mid$}-a-\D\frac{1}{4a}\right)\right]$}
      
\item Begr"unde: In der Schar gibt es keine Parabel, deren Scheitel auf der $y$-Achse liegt.
\item Begr"unde: In der Schar gibt es keine Parabel, deren Scheitel im II. Quadranten liegt.
\item Tabellarisiere die Scheitelkoordinaten f"ur $a\in\{-1;\,-0,5;\,0,5;\,1\}$.
      Zeichne die zugeh"origen Parabeln in ein Koordinatensystem.\\
      Platzbedarf: $-5\LQ x \LQ 5$ und $-4\LQ y \LQ 4$
\item Berechne die Gleichung des Tr"agergraphen aller Scheitelpunkte $S(x_S\mid y_S)$.

      \centerline{$\left[\text{Ergebnis: }y_S = \D\frac{1}{2x_S}+\D\frac{x_S}{2}\right]$}

\item Begr"unde: Zu jeder Parabel $p$ der Schar mit dem Scheitel $S(x_S\mid y_S)$ gibt es in der Schar 
      eine kongruente Parabel $p'$ mit dem Scheitel $S'(-x_s\mid -y_S)$.
\item Zeige: Jede Parabel der Schar schneidet die $x$-Achse zwei Punkten.
\end{enumerate}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item Mit Hilfe einer Formelsammlung kannst du das Ergebnis sofort errechnen.
\item Es m"usste $x_S=-\D\frac{1}{2a}=0$ gelten. Ein Bruch hat aber nur dann den Wert 0, wenn der Z"ahler
      den Wert 0 besitzt. Das ist hier jedoch nicht der Fall. Also gibt es keine solche Parabel.
\item L"age einer der Scheitelpunkte im II. Quadranten, dann w"are sein Abszissenwert $<0$.\\
      Wegen $x_S=-\D\frac{1}{2a}$ m"usste $a$ positiv sein.\\
      Wegen $y_S=-a-\D\frac{1}{4a}$ folgt $y_S<0$.\\
      
      Dann liegt jedoch der Scheitel im III. und nicht im II. Quadranten.\\
      
\item \begin{tabular}{c|| c | c | c | c}
      $a$ & $-1$ & $-0,5$ & $0,5$ & $1$\\
      \hline
      $S(x_S\mid y_S)$ & $(0,5\mid 1,25)$ & $(1\mid 1)$ & $(-1\mid -1)$ & $(-0,5\mid -1,25)$
      \end{tabular}
\vspace{0.2cm}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh051_a.1}
      \end{center}
\item Es gilt:\\
      \begin{tabular}{c c c c c l}
               & $x_S$ & = &   $-\D\frac{1}{2a}$ & (1) & $\quad\Leftrightarrow\quad a=
	       -\D\frac{1}{2\cdot x_S}\quad (1)'$\\
      \vspace{0.1cm}\\
      $\wedge$ & $y_S$ & = & $-a-\D\frac{1}{4a}$ & (2) &\\
      \vspace{0.1cm}\\
      \hline
      \end{tabular}
      \vspace{0.1cm}\\
      $(1)'$ in (2): $y_S=-\left(-\D\frac{1}{2\cdot x_S}\right)
      -\D\frac{1}{4\cdot \left(-\D\frac{1}{2\cdot x_S}\right)}=\D\frac{1}{2x_S}+\D\frac{x_S}{2}$\\
\item Die Tabelle der Aufgabe (d) l"asst vermuten, dass ein Vorzeichenwechsel des Parameters $a$ eine
      Punktspiegelung des betreffenden Parabelscheitels am Koordinatenursprung zur Folge hat. Die Parabel
      bleibt dabei deckungsgleich zur urspr"unglichen Parabel, wechselt aber ihre "Offnungsrichtung (siehe
      graphische Darstellung).\\
      Also: $a'=-a$ und $x_{S'}= -\D\frac{1}{2a'}=-\D\frac{1}{-2a}=\D\frac{1}{2a}=-x_S$\\
      
      und $y_{S'}=-a'-\D\frac{1}{4a'}=-(-a)-\D\frac{1}{4\cdot(-a)}=
      -\left(-a-\D\frac{1}{4\cdot a}\right)=-y_S$
\item Schnittpunkte mit der $x$-Achse verlangen $y=0$ : $ax^2+x-a=0$.\\
      F"ur die Diskriminante $D^*$ ergibt sich: $D^*=1^2-4\cdot a\cdot (-a)=1+4a^2$.\\
      $4a^2$ wird nie negativ. Daher bleibt $4a^2+1$ stets positiv. Also hat die quadratische Gleichung $ax^2+x-a=0$ stets
      zwei L"osungen. Damit schneidet jede Scharparabel die $x$-Achse zweimal.
\end{enumerate}
}

