%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics[width=4cm]{09eh053_a}
      \end{center}
Familie Taerkot hat auf ihrem eingez"aunten Grundst"uck einen $140\,\mathrm{m^2}$ gro"sen Garten angelegt. Er
wurde zus"atzlich mit einem $25,5\,\mathrm{m}$ langen Maschendrahtzaun abgegrenzt.
\begin{enumerate}
\item Berechne L"ange und Breite.
\item H"atte Familie Taerkot mit $25,5\,\mathrm{m}$ Maschendraht auf die in der Abbildung dargestellte Weise
      eine noch gr"o"sere Gartenfl"ache abgrenzen k"onnen?
\end{enumerate}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics[width=4cm]{09eh053_l1}
      \end{center}
      \vspace{0.3cm}
      Es gilt:
      \begin{tabular}{c c c l c l}
               & $x+y$      & = & $25,5$ & (1) & $\quad\Leftrightarrow\quad y=25,5-x\quad(1)'$\\
      $\wedge$ & $x\cdot y$ & = & $140$ & (2) &\\
      \hline
      \end{tabular}
      \vspace{0.2cm}\\
      $(1)')$ in $(2)$: $x\cdot(25,5-x)=140\quad\Leftrightarrow\quad -x^2+25,5x-140=0$\\
      $\Rightarrow\quad\LL=\{17,5\,\,;\,8\}$. Wegen $(1)'$ folgt: $y=8\,\vee\, y = 17,5$.\\
      Das Gartengrundst"uck ist $17,5\,\mathrm{m}$ lang und $8\,\mathrm{m}$ breit (oder umgekehrt).
\item F"ur den Fl"acheninhalt $A$ gilt: $A=x\cdot y\,\mathrm{m^2}$.\\
      Mit $(1)'$ folgt $A(x)=x(25,5-x)\,\mathrm{m^2}\quad\Leftrightarrow\quad
      A(x)=(-x^2+25,5x)\,\mathrm{m^2}$.\\
      Der Extremwert muss wegen des negativen Vorzeichens von $x^2$ ein Maximum sein. Die Berechnung erfolgt
      z.B. so, als ob du die Scheitelkoordinaten der zugeh"origen (nach unten ge"offneten) Parabel
      ermittelst:\\
      $a=-1\quad b=25,5$ und $c=0$:\\
      $x_S=-\D\frac{25,5}{-2}=12,75$ und $y_S=0-\D\frac{25,5^2}{-4}=162,5625$ (Maximum).\\
      
      Mit dem $25,5\,\mathrm{m}$ langen Maschendraht h"atte Familie Taerkot auf diese Weise sogar etwas
      mehr als $162\,\mathrm{m^2}$ einz"aunen k"onnen.\\
      
      Die L"ange $x=12,75\,\mathrm{m}$ liefert mit $(1)'$ die Breite  $y=(25,5-12,75)\,\mathrm{m}=
      12,75\,\mathrm{m}$. Das bedeutet, dass der fl"achengr"o"ste Garten eine quadratische Form h"atte.
\end{enumerate}
}

