
%
\ANG
{
 Gegeben sind die Parabel $p: y = -0,5x^2 - 3x - 1$ und die Gerade $g: y =
-0,5x - 4$ auf $G = \RR \times \RR$. \\
Die zugeh"origen Funktionsgraphen sind in Ausschnitten dargestellt:
\begin{center}
\includegraphics{10eh024_a.1}
\end{center}

Auf der Parabel $p$ wandern sowohl Punkte $A_n(x\mid -0,5x^2 - 3x - 1)$ als auch Punkte $C_n$.
Dabei ist der Abszissenwert der Punkte $C_n$ stets um 3 gr"o"ser als der
Abszissenwert $x$ der Punkte $A_n$.

\begin{enumerate}
\item Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte $P$  und $Q$ der Parabel
      $p$ mit der Geraden $g$.
\item Berechne die Koordinaten der Punkte $C_n$ in Abh"angigkeit vom
      $x$-Wert der Punkte $A_n$.
      
      \centerline{[ Ergebnis: $C_n( x+3 \mid -0,5x^2 - 6x - 14,5 )$ ]}
\item Zusammen mit dem Punkt $B(-4|-2)$ werden zwischen Gerade und Parabel
      Dreiecke $A_nBC_n$ erzeugt.\\
      Zeichne f"ur $A_1(-5|y_1)$ das Dreieck $A_1BC_1$ in obiges
      Koordinatensystem ein.
\item Berechne den Fl"acheninhalt der Dreiecke $A_nBC_n$ in
      Abh"angigkeit von $x$.\\
      \mbox{}\hfill[ Ergebnis: $A(x) =(0,75x^2 + 8,25x + 28,5)\,\mathrm{cm^2}$] 
		\hfill\mbox{}
\item Unter allen Dreiecken $A_nBC_n$ gibt es eines, das einen minimalen
      Fl"acheninhalt aufweist. Berechne dieses Minimum und die zugeh"orige
      Belegung von x.
\item Unter allen Dreiecken $A_nBC_n$ gibt es das Dreieck $A_3BC_3$, so
      dass $\sphericalangle A_3BP = \sphericalangle BA_3C_3$ gilt. Berechne
      den zugeh"origen Abszissenwert $x$.
\end{enumerate}

}

\LSG{\mbox{}

\begin{center}
\includegraphics{10eh024_l.1}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item $-0,5x^2-3x-1=-0,5x-4\quad \Rightarrow\quad -0,5x^2-2,5x+3=0$\\
      $D^*=12,25\quad \Rightarrow\quad\sqrt{D^*}=3,5$\\
            $x_{1;2}=\D\frac{2,5\pm 3,5}{-1}$\\
      $x_1=-6$ in $g$: $y_1=-1\quad \Rightarrow\quad P(-6\mid -1)$\\
      $x_2=1$ in $g$: $y_2=-4,5\quad \Rightarrow\quad Q(1\mid -4,5)$
\item Das Ergebnis folgt aus: $C_n(x+3\mid -0,5(x+3)^2-6(x+3)-14,5)$.
\item Siehe Zeichnung
\item $\overrightarrow{BC_n} = 
      \begin{pmatrix}
      x+7 \\ -0,5x^2-6x - 12,5
      \end{pmatrix}\quad$ 
      und
      $\quad\overrightarrow{BA_n} = 
      \begin{pmatrix}
      x+4 \\ -0,5x^2-3x +1
      \end{pmatrix}$
      
      $A(x)=\D\frac{1}{2}
      \begin{vmatrix} x+7 & x+4 \\ -0,5x^2-6x-12,5 &
      -0,5x^2-3x+1\end{vmatrix}$\\
      
      $\Rightarrow\quad A(x) =(0,75x^2 + 8,25x + 28,5)\,\mathrm{cm^2}$
      
\item $x= -5,5$ liefert $A_{\mathrm{min}} = 5,8125\,\mathrm{cm^2}$.   
\item Die Seite $[A_3C_3]$ muss zur Graden $g$ parallel sein:\\

      $\overrightarrow{A_nC_n} = 
      \begin{pmatrix}
      x+3-x \\ -0,5x^2-6x - 14,5-(-0,5x^2-3x-1)
      \end{pmatrix} = 
      \begin{pmatrix}
      3 \\ -3x - 13,5
      \end{pmatrix}$\\

      $\Rightarrow\quad\D\frac{-3x-13,5}{3} = -0,5 \quad \Rightarrow \quad x = -4$
 \end{enumerate}
}              

