
%
\ANG
{
 Gegeben sind die Parabel $p$ und die Gerade $g$ durch die Gleichungen:\\
 $p: y = -0,25x^2 +x +7$ und $g: y = -0,5x+3$ auf $G = \RR \times \RR$. \\
Die zugeh"origen Funktionsgraphen sind in Ausschnitten dargestellt:
\begin{center}
\includegraphics{10eh025_a.1}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Ermittle die Koordinaten der Schnittpunkte $P$  und $Q$ der Parabel
      $p$ mit der Geraden $g$. Der Punkt $P$ soll dabei nicht im IV. Quadranten liegen.
\item Die Punkte $A_n(x\mid -0,25x^2+x+7)$ auf der Parabel $p$ und die Punkte $B_n$ auf der Geraden $g$
      besitzen jeweils den gleichen Abszissenwert.\\
      Die Punkte $A_n$ und $B_n$ sind Eckpunkte von gleichschenkligen Dreiecken $A_nB_nC_n$ mit den Basen
      $[A_nB_n]$. Die H"ohen auf diese Basen sind stets $4\,\mathrm{cm}$ lang. Die Punkte $C_n$ sollen stets
      rechts von den Basen $[A_nB_n]$ liegen.\\
      Zeichne f"ur $x=-1$ das Dreieck $A_1B_1C_1$ ein.
\item Zeichne f"ur $C_2(7,5\mid y_2$) das Dreieck $A_2B_2C_2$ ein.\\
      Berechne die Koordinaten des Punktes $A_2$.
\item Zeige durch Rechnung: F"ur den Fl"acheninhalt $A$ dieser Dreiecke $A_nB_nC_n$ gilt in Abh"angigkeit von
      $x$:\\
      \centerline{$A(x)=(-0,5x^2+3x+8)\,\mathrm{cm^2}$}
\item Unter allen Dreiecken $A_nBC_n$ gibt es eines, das einen maximalen
      Fl"acheninhalt aufweist. Berechne dieses Maximum und die zugeh"orige
      Belegung von x.
\item Gibt es unter allen Dreiecken $A_nBC_n$ ein Dreeick $A_3B_3C_3$, dessen Eckpunkt $C_3$ auf der
      $y$-Achse liegt? Begr"unde deine Antwort.
\end{enumerate}

}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item Der Schnittpunkt im IV.Quadranten muss $Q$ sein.\\

      1. M"oglichkeit:\\
      $-0,25x^2 +x +7=-0,5x+3\quad \Rightarrow\quad-0,25x^2+1,5x+4=0$\\
      $D^*=6,25\quad\Rightarrow\quad\sqrt{D^*}=2,5$\\
      $x_{1;2}=\D\frac{-1,5\pm 2,5}{-0,5}$\\
      $x_1=-2$ in $g$: $y_1=4\quad \Rightarrow\quad P(-2\mid 4)$\\
      $x_2=8$ in $g$: $y_2=-1\quad \Rightarrow\quad Q(8\mid -1)$\\
            2. M"oglichkeit:\\
      Aus der schon vorhandenen Zeichnung kannst du ablesen: $P(-2\mid 4)$ und $Q(8\mid -1)$.\\
      Wenn du die Koordinaten dieser Punkte in die Gleichung der Parabel {\bf und} die der Geraden einsetzt, ergeben sich
      insgesamt vier wahre Aussagen. Das bedeutet, dass die Punkte $P$ und $Q$ {\bf sowohl} auf der Geraden
      $g$ {\bf als auch} auf der Parabel $p$ liegen.\\
      Weil aber eine Gerade eine Parabel h"ochstens in zwei Punkten schneiden kann, sind $P$ und $Q$
      die gesuchten Schnittpunkte.
\item \mbox{}     
      \begin{center}
      \includegraphics{10eh025_l.1}
      \end{center}
\item Siehe Zeichnung.\\
      $x_C=7,5\quad \Rightarrow \quad x=7,5-4=3,5\quad $\\
      $\Rightarrow \quad y = -0,25\cdot 3,5^2+3,5+7=7,4375\quad\Rightarrow\quad A_2(3,5\mid 7,4375)$
\item $y_{A_n}-y_{B_n}=-0,25x^2+x+7-(-0,5x+3)=-0,25x^2+1,5x+4$\\
      $A(x)=0,5\cdot(-0,25x^2+1,5x+4)\cdot4\,\mathrm{cm^2}\quad\Rightarrow\quad 
      A(x)=(-0,5x^2+3x+8)\,\mathrm{cm^2}$
\item $x= 3$ liefert $A_{\mathrm{max}} = 12,5\,\mathrm{cm^2}$.   
\item Wenn der Punkt $C_3$ auf der $y$-Achse liegen soll, dann m"ussen die Punkte $A_3$ und $B_3$ auf einer
      Parallelen zur $y$-Achse im Abstand von $4\,\mathrm{cm}$ liegen, die durch den II. und III. Quadranten
      verl"auft.\\
      Der Abstand des Punktes $P$ von der $y$-Achse betr"agt $2\,\mathrm{cm}$. Demnach k"ame der Punkt
      $B_3$ auf der Geraden $g$ "uber den Punkt $A_3$ auf der Parabel $p$ zu liegen. Dadurch h"atte das
      Dreieck $A_3B_3C_3$ den falschen Drehsinn, weil der Punkt $C_3$ ja wie alle Punkte $C_n$ rechts von der
      Basis liegen m"usste; d.h. es gibt unter allen Dreiecken $A_nB_nC_n$ kein solches Dreieck $A_3B_3C_3$.
 \end{enumerate}
}              

