
%
\ANG
{
 Die Parabel $p$ besitzt die Scheitelkoordinaten $S(3\mid 1)$ und sie verl"auft durch einen Punkt 
 mit den Koordinaten $(5\mid 3)$. Au"serdem ist eine Gerade $g$ durch die Gleichung $y = x-2,5$
 gegeben.\\
Die zugeh"origen Funktionsgraphen sind in Ausschnitten dargestellt.\\
Auf der Geraden $g$ liegen Punkte $A_n(x\mid x-2,5)$ und auf der Parabel $p$ liegen Punkte $C_n$, die jeweils denselben
Abszissenwert wie die Punkte $A_n$ besitzen.\\
Damit werden Rauten $A_nB_nC_nD_n$ erzeugt, deren Diagonalen $[B_nD_n]$ stets $4\,\mathrm{cm}$ lang sind.
\begin{center}
\includegraphics{10eh026_a.1}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Zeige: Die Parabel $p$ besitzt die Gleichung $y=0,5x^2-3x+5,5$.
\item Begr"unde rechnerisch: Die Gerade $g$ ist eine Tangente an die Parabel $p$.
\item 
      \begin{itemize}
      \item Zeichne f"ur $x=-1$ die Raute $A_1B_1C_1D_1$ ein.
      \item Zeichne f"ur $D_2(4\mid y_{D_2})$ die Raute $A_2B_2C_2D_2$ ein.
      \end{itemize}    
\item \begin{itemize}
      \item F"ur die Diagonalenl"angen $\overline{A_nC_n}$ gilt in Abh"angigkeit von $x$:\\
            $\overline{A_nC_n}(x)=(0,5x^2-4x+8)\,\mathrm{cm}$.\\
            Ermittle damit alle Belegungen von $x$, f"ur die es solche Rauten $A_nB_nC_nD_n$ gibt.
      \item F"ur den Fl"acheninhalt $A$ der Rauten $A_nB_nC_nD_n$ gilt in Abh"angigkeit von $x$:\\
            $A(x)=(x^2-8x+16)\,\mathrm{cm^2}$.\\
	    Best"atige damit das Ergebnis der vorherigen Aufgabe.
      \item Best"atige mit dem Ergebnis der Aufgabe (b) das Ergebnis der vorherigen Aufgabe.
      \end{itemize}
\item Unter allen Rauten $A_nB_nC_nD_n$ gibt es auch Quadrate.
      \begin{itemize}
      \item Jeweils ein Eckpunkt dieser Quadrate muss auf der Geraden $g$ liegen. Warum?
      \item Wie viele solcher Quadrate gibt es? Begr"unde deine Antwort.
      \end{itemize}
\end{enumerate}

}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item $S(3\mid 1)$ und $(5\mid 3)$ in die Scheitelform:\\
      $p: 3 = a\cdot (5-3)^2+1\quad\Rightarrow \quad a = 0,5$\\
      $p: y = 0,5\cdot (x-3)^2+1 = \ldots = 0,5x^2-3x + 5,5$
\item $p\cap g: 0,5x^2-3x+5,5=x-2,5\quad\Rightarrow \quad 0,5x^2-4x+8=0\quad\Rightarrow \quad D^*=0$\\
      Also ist die Gerade $g$ eine Tangente an die Parabel $p$.
\item \begin{itemize}
      \item Siehe Zeichnung.
      \item Wenn der Punkt $D_2$ den Abszissenwert 4 besitzt, dann muss der Punkt $B_2$ den Abszissenwert $4+4=8$
            besitzen.\\
	    Somit m"ussen die Punkte $A_2$ und $C_2$ jeweils den $x$-Wert $\frac{8+4}{2}=6$ besitzen, denn in
	    jeder Raute halbieren sich die Diagonalen. Das ergibt dann das folgende Bild:
      \end{itemize}
      \begin{center}
      \includegraphics{10eh026_l.1}
      \end{center}
\item \begin{itemize}
      \item $\overline{A_nC_n}(x)=(0,5x^2-4x+8)\,\mathrm{cm}=[0,5(x^2-8x+16)]\,\mathrm{cm}= 0,5(x-4)^2\,\mathrm{cm}$\\
            Es gilt stets $(x-4)^2 \GQ 0$ und damit $0,5(x-4)^2 \GQ 0$.\\
            F"ur $x=4$ gilt $\overline{A_nC_n}(4)=0\,\mathrm{cm}$ ; d.h. die betreffende "`Raute"' 
	    w"urde zur Strecke entarten.\\
            Der Drehsinn s"amtlicher Rauten bleibt immer richtig, weil die Punkte $C_n$ auf der Parabel $p$ 
	    stets "`"uber"' der Geraden $g$ mit ihren Punkten $A_n$ liegen.\\
            Also gibt es Rauten $A_nB_nC_nD_n$ f"ur $x \in \RR \setminus \{4\}$.
      \item F"ur den Fl"acheninhalt $A$ der Rauten $A_nB_nC_nD_n$ gilt in Abh"angigkeit von $x$:\\
            $A(x) = 0,5\cdot 4\cdot (0,5x^2-4x+8)\,\mathrm{cm^2}= \ldots = (x-4)^2\,\mathrm{cm^2}$\\
            Nur f"ur $x=4$ verschwindet der Fl"acheninhalt der betreffenden (zur Strecke entarteten) Raute.\\
            Also gibt es Rauten $A_nB_nC_nD_n$ f"ur $x \in \RR \setminus \{4\}$.
      \item Die Gerade $g$ ist eine Tangente der Parabel $p$. Also gibt es keinen Punkt auf der Parabel, der die
            Gerade $g$ "uberqueren und damit den Drehsinn auch nur einer der Rauten $A_nB_nC_nD_n$ umkehren k"onnte.\\
            Einzig der Ber"uhrpunkt $B^*$ stellt einen kritischen Fall dar.\\
            Wie in der L"osung (b) schon gezeigt, gilt $0,5x^2-4x+8=0\quad\Rightarrow\quad 0,5(x-4)^2=0$ und 
	    damit folgt $B^*(4\mid 1,5)$ (siehe Zeichnung). Nur dort gibt es eine (zu Strecke entartete) "`Raute"'.\\
            Also gibt es Rauten $A_nB_nC_nD_n$ f"ur $x \in \RR \setminus \{4\}$.
      \end{itemize}
\item \begin{itemize}
      \item Die Quadratdiagonalen liegen wie alle Rautendiagonalen $\overline{A_nC_n}$ zur $y$-Achse parallel und
            sie halbieren jeweils zwei rechte Innenwinkel der betreffenden Quadrate.\\
	    Die Gerade $g$ besitzt den Steigungsfaktor m=1; d.h. sie schneidet die $x$-Achse
            unter einem $45^\circ$-Winkel.
            Folglich m"ussen die Quadratdiagonalen einen $45^\circ$-Winkel mit der Geraden $g$ einschlie"sen.
            Also m"ussen die Quadrateckpunkte  unter den 
	    Rauteneckpunkten $B_n$ auf der Geraden $g$ liegen.
      \item 1. M"oglichkeit:\\
            $0,5x^2-4x+8=4\quad\Rightarrow\quad 0,5x^2-4x+4=0\quad\Rightarrow\quad D^*=8$.\\
	    Die quadratische Gleichung besitzt zwei L"osungen und damit gibt es zwei Quadrate.\\
	    2. M"oglichkeit:\\
	    Der Eckpunkt $B_1$ der Raute $A_1B_1C_1D_1$ liegt "`"uber"' der Geraden $g$, der Eckpunkt 
	    $B_2$ der Raute $A_2B_2C_2D_2$ liegt dagegen "`unter"' der Geraden $g$.\\
	    Also muss einer der Punkte $B_n$ -- wir nennen ihn $B_3$ -- w"ahrend der Wanderung von der 
	    Position 1 zur Position 2 {\bf auf} der Geraden $g$ liegen.\\
	    Die Gerade $g$ besitzt den Steigungsfaktor m=1; d.h. sie schneidet die $x$-Achse
            unter einem $45^\circ$-Winkel. Das bedeutet, dass auch in der betreffenden Raute $A_3B_3C_3D_3\quad 
	    \sphericalangle B_3A_3C_3 = 45^\circ$ gilt. Aus Symmetriegr"unden muss dann 
	    $\sphericalangle B_3A_3D_3 = 90^\circ$ gelten. Wenn jedoch in der Raute $A_3B_3C_3D_3$ 
	    ein Innenwinkel das Ma"s $90^\circ$ besitzt, dann muss diese Raute (wie jede andere auch)
	    ein Quadrat sein.\\
	    Wenn nun Punkte $B_n$ "uber den Punkt $B_2$ der Raute $A_2B_2C_2D_2$ hinaus nach rechts wandern,
	    nehmen die Diagonalenl"angen $\overline{A_nC_n}$ wieder zu. Sie "`heben"' dann die Punkte $B_n$ 
	    "uber die Gerade $g$ hinweg. Also muss es einen weiteren Punkt $B_4$ geben der auf der Geraden $g$ liegt.
	    Aus den vorherigen "Uberlegungen muss dieser Punkt $B_4$ zu einem weiteren Quadrat $A_4B_4C_4D_4$
	    geh"oren.\\
	    Links von der Position des Quadrates $A_3B_3C_3D_3$ und rechts von der Position des Quadrates
	    $A_4B_4C_4D_4$ "uberquert keiner der Punkte $B_n$ mehr die Gerade $g$. Also bleibt es bei den beiden
	    Quadraten.\\
	    
	    {\bf Anmerkung:}\\
	    Die ver"anderlichen Rauten lassen sich sehr anschaulich in einer Datei, die mit Hilfe des dem dynamischen
	    Mathematikprogrammes "`GEONExT"' erzeugt wurde ("`10eh116.gxt"'), darstellen.
      \end{itemize}
\end{enumerate}
}              

