
%
\ANG
{
 Gegeben sind eine Parabel $p$ und eine Gerade $g$ durch die Gleichungen:\\
 $P: y = -0,5x^2-4x+1$ und $g: y = 0,5x+3$.\\ 
Die zugeh"origen Funktionsgraphen sind in Ausschnitten dargestellt:
\begin{center}
\includegraphics{10eh027_a.1}
\end{center}
Auf der Parabel $p$ liegen dort, wo die Parabel {\bf oberhalb} der Geraden verl"auft, 
Punkte $P_n(x\mid-0,5x^2-4x+1)$.\\
Auf der Geraden $g$ liegen Punkte $Q_n$ jeweils mit dem gleichen Abszissenwert $x$ wie die Punkte $P_n$. 
Zudem liegen auf der Geraden $g$ Punkte $R_n$, deren Abszissenwert jeweils um 2 gr"o"ser als der 
Abszissenwert der Punkte $P_n$ bzw. $Q_n$ ist .\\
Dadurch werden Dreiecke $P_nQ_nR_n$ erzeugt.
\begin{enumerate}
\item Zeichne f"ur $x=-4,5$ das Dreieck $P_1Q_1R_1$ ein.
\item Zeige: Die Streckenl"angen $\overline{P_nQ_n}$ lassen sich in Abh"angigkeit von $x$ wie folgt darstellen:\\
      \centerline{$\overline{P_nQ_n}(x)=(-0,5x^2-4,5x-2)\,\mathrm{cm}$}
\item Begr"unde: Die l"angste unter allen Streckenl"angen $\overline{P_nQ_n}$ erzeugt gleichzeitig 
      das fl"achengr"o"ste unter allen
      Dreiecken $P_nQ_nR_n$
\item Untersuche rechnerisch, ob es unter allen Dreiecken $P_nQ_nR_n$ gleichschenklige gibt, deren 
      Basis jeweils eine
      der Strecken $[P_nQ_n]$ ist.
\item \begin{itemize}
      \item Zeichne f"ur $x=-7$ das Dreieck $P_2Q_2R_2$ ein.\\
            Weise rechnerisch nach, dass dieses Dreieck rechtwinklig ist.
      \item Berechne das Ma"s eines der spitzen Innenwinkel dieses Dreiecks.
      \item Es gibt ein weiteres Dreieck $P_3Q_3R_3$, das zum Dreieck $P_2Q_2R_2$ kongruent ist.\\
            Konstruiere den Eckpunkt $P_3$ dieses Dreiecks (die Konstruktionslinie muss deutlich sichtbar sein)
	    und begr"unde deine Vorgehensweise.\\
	    Zeichne dieses Dreieck $P_3Q_3R_3$ ein.
      \end{itemize}
\item Unter allen Dreiecken $P_nQ_nR_n$ gibt es noch zwei rechtwinklige Dreiecke 
      $P_4Q_4R_4$ und $P_5Q_5R_5$ mit den Hypotenusen
      $[Q_4R_4]$ bzw. $[Q_5R_5]$. Berechne die zugeh"origen $x$-Werte.
\end{enumerate}

}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item Siehe Zeichnung.
      \begin{center}
      \includegraphics{10eh027_l.1}
      \end{center}
\item Es gilt: $\overline{P_nQ_n}\,^2=(x-x)^2\,\mathrm{cm^2}+[(-0,5x^2-4x+1)-(0,5x+3)]\,\mathrm{cm^2}\\
      =(-0,5x^2-4,5x-2)^2\,\mathrm{cm^2}$.\\
      $\Rightarrow\quad \overline{P_nQ_n}=\mid -0,5x^2-4,5x-2\mid\,\mathrm{cm}$.\\
      Weil die $y$-Werte der Punkte $P_n$ stets gr"o"ser als die $y$-Werte der Punkte $Q_n$ sind, 
      kannst du die Betragstriche weglassen.\\
      Also folgt: $\overline{P_nQ_n}(x)=(-0,5x^2-4,5x-2)\,\mathrm{cm}$ 
\item 1. M"oglichkeit: anschaulich\\
      Die H"ohen $[R_nF_n]$ der Dreiecke $P_nQ_nR_n$ sind konstant $2\,\mathrm{cm}$ lang 
      (vgl. $[R_1F_1]$ in der Zeichnung). Nur die L"angen der zugeh"origen Grundlinien $[P_nQ_n]$ sind ver"anderlich.\\
      Wegen der Formelgleichung f"ur Dreiecksfl"achen $A=\frac{1}{2}\cdot\mathrm{Grundlinie}
      \cdot\mathrm{H"ohe}$ h"angt der Fl"acheninhalt dieser Dreiecke $P_nQ_nR_n$ 
      nur von den L"angen  der Grundlinien $[P_nQ_n]$ ab. Wenn dort die maximale L"ange erreicht ist, 
      dann ist auch die zugeh"orige Dreiecksfl"ache am gr"o"sten.\\
      2. M"oglichkeit: rechnerisch\\
      F"ur den Fl"acheninhalt $A$ der Dreiecke $P_nQ_nR_n$ gilt in Abh"angigkeit von $x$:\\
      
      $A(x)=\D\frac{1}{2}\cdot\overline{P_nQ_n}\cdot\overline{R_nF_n}=\\
      \D\frac{1}{2}\cdot(-0,5x^2-4,5x-2)\cdot 2\,\mathrm{cm^2}=(-0,5x^2-4,5x-2)\,\mathrm{cm^2}$.\\
      
      Damit stimmen f"ur jeden zul"assigen $x$-Wert die Ma"szahlen von Fl"acheninhalt und Grundlinienl"ange "uberein.\\
      Wenn also eine der Grundlinien $[P_nQ_n]$ am l"angsten wird, dann ist auch der Inhalt der zugeh"origen Dreiecksfl"ache
      maximal.
\item Es gilt $Q_n(x\mid 0,5x+3)$ und $R_n(x+2\mid 0,5(x+2)+3)=(x+2\mid 0,5x+4)$.\\
      Betrachte das Steigungsdreieck $Q_1HR_1$, das an der Geraden $g$ unver"anderlich ist.\\
      Dem kannst du entnehmen, dass stes $\overline{Q_nR_n}=\sqrt{1^2+2^2}\,\mathrm{cm}=\sqrt5\,\mathrm{cm}$ gilt.\\
      Von Aufgabe (b) ist $\overline{P_nQ_n}(x)=(-0,5x^2-4,5x-2)\,\mathrm{cm}$ schon bekannt.\\
      Es muss $-0,5x^2-4,5x-2=\sqrt5$ gelten.\\
      $\Leftrightarrow\quad 0,5x^2+4,5x+(2+\sqrt5)=0\quad\Rightarrow\quad D^*=16,25-2\sqrt5 \,(\approx 11,78) >0$\\
      Also gibt es zwei solche gleichschenklige Dreiecke.
\item \begin{itemize}
      \item Siehe Zeichnung.
      \item $x=-7$ liefert: $P_2(-7\mid 4,5)$, $Q_2(-7\mid -0,5)$ und $R_2(-5\mid 0,5)$.\\
      $\overline{P_2Q_2}=5\,\mathrm{cm}$, $\overline{Q_2R_2}(x)=\sqrt 5\,\mathrm{cm}$ (siehe L"osung der Aufgabe (d)) und
      $\overline{P_2R_2}=\sqrt{(-5+7)^2+(4,5-0,5)^2}\,\mathrm{cm}=\sqrt{20}\,\mathrm{cm}$\\
      In diesem Dreieck $P_2Q_2R_2$ gilt der Satz des PYTHAGORAS:\\
      $5^2 =\sqrt 5 \,^2 + \sqrt{20}\,^2$. Also ist das Dreieck $P_2Q_2R_2$ rechtwinklig. 
      \item Jeder Eckpunkt $Q_n$ der Dreiecke $P_nQ_nR_n$ ist Scheitel eines Winkels mit dem Ma"s $\varphi$ 
            (Stufen- oder F-Winkel).
            Im Steigungsdreieck $Q_1HR_1$ ist der Punkt $R_1$ ebenfalls Scheitel eines Winkels mit dem Ma"s $\varphi$
	    (Wechsel- oder Z-Winkel).\\
	    Dort gilt: $\tan\varphi=\frac{2}{1}\quad\Rightarrow\quad\varphi\approx 63,43^\circ$.
      \item Die Parallele $h$ zur Geraden $g$ durch den Punkt $P_2$ schneidet die Parabel $p$ im gesuchten Punkt $P_3$
            (Siehe Zeichnung).\\
            Begr"undung:\\
	    Der Punkt $P_2$ besitzt den Abstand $\overline{P_2R_2}$ zur Geraden $g$.
	    Alle Punkte $P_n$ aber, die den Abstand $\overline{P_2R_2}$ von der Geraden $g$ haben, liegen auf einer
	    Parallelen (in der Zeichnung: $h$) zur Geraden $g$ die den Abstand $\overline{P_2R_2}$ besitzt.
      \item Weil alle Strecken $[Q_nR_n] \,\sqrt5\,\mathrm{cm}$ lang sind, m"ussen die gesuchten Dreiecke z.B. zum
            Steigungsdreieck $Q_1HR_1$ kongruent sein; d.h. es muss gelten:\\
	    $\overline{P_nQ_n}(x)=(-0,5x^2-4,5x-2)\,\mathrm{cm}=1\,\mathrm{cm}\quad\Leftrightarrow\quad-0,5x^2-4,5x-3=0$\\
	    
	    $D^*=14,25\,\Rightarrow\quad x_{1;2}=\D\frac{4,5\pm\sqrt{14,25}}{-1}$
	    $\Rightarrow\, x_1\approx -8,27$ und $x_1\approx -0,72$
      \end{itemize}
\end{enumerate}
}              

