
%
\ANG
{
 Gegeben ist Parabel $p$ mit der Gleichung $p: y = ax^2-x-3$, die durch den Punkt $P(-3\mid 2,25)$
 verl"auft.\\
 Au"serdem ist eine Gerade $g$ durch die Gleichung $g: y = 0,5x + 1$ gegeben.\\
Die zugeh"origen Funktionsgraphen sind in Ausschnitten dargestellt:
\begin{center}
\includegraphics{10eh029_a.1}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item 
      \begin{itemize}
      \item Berechne die Scheitelkoordinaten der Parabel $p$.\\
            \centerline{[ Teilergebnis: $p: y = 0,25x^2-x-3$ ]}
      \item Untersuche, ob die Gerade $h$ mit der Gleichung $h: y = 0,5x-5,26$ die Parabel $p$ 
            ber"uhrt.
      \end{itemize}
\item Auf der Parabel $p$ liegen Punkte $B_n(x\mid 0,25x^2-x-3)$. Auf der Geraden $g$ liegen Punkte 
      $C_n(x\mid 0,5x +1)$ mit dem gleichen Abszissenwert $x$ wie die Punkte $B_n$.\\
      F"ur $x\in\, ]-2;8[\,_{\RR}$ erzeugen die Punkte $A_n$ zusammen mit den Punkten $B_n$ 
      und $C_n$ rechtwinklige Dreiecke $A_nB_nC_n$ mit den
      Hypotenusen $[A_nC_n]$. Dabei sind die Katheten $[A_nB_n]$ stets $4\,\mathrm{cm}$ lang.\\
      Zeichne f"ur $x=-1$ und $x=5$ die beiden Dreiecke $A_1B_1C_1$ und $A_2B_2C_2$ ein.
\item Berechne die L"ange der Katheten $[B_nC_n]$ in Abh"angigkeit von x.\\
      \centerline{[ Ergebnis: $\overline{B_nC_n}(x)=(-0,25x^2+1,5x+4)\,\mathrm{cm}$ ]}
\item Unter allen Dreiecken $A_nB_nC_n$ gibt es eines mit maximalem Fl"acheninhalt. berechne dieses Maximum und die
      zugeh"orige Belegung von $x$.
\item Unter allen Dreiecken $A_nB_nC_n$ gibt es zwei Dreiecke $A_3B_3C_3$ und $A_4B_4C_4$, so dass der Winkel
      $A_3C_3B_3$ bzw. $A_4C_4B_4$ das Ma"s $45\,^\circ$ besitzt. Berechne die zugeh"origen Belegungen von $x$.
\item Untersuche rechnerisch, ob es unter allen Dreiecken $A_nB_nC_n$ eines gibt, deren Hypotenuse auf der Geraden $g$
      liegt.
\end{enumerate}

}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item \begin{itemize}
      \item $P(-3\mid 3,25)$ in $p$: $2,25 = a\cdot (-3)^2-(-3)-3\quad\Rightarrow\quad
      2,25 =9a\quad\Rightarrow\quad a=0,25$ und $p: y = 0,25x^2-x-3$.\\
      $\D\EPUNKT{S}{-\frac{-1}{2\cdot 0,25}}{-3-\frac{(-1)^2}{4\cdot 0,25}}=(2\mid-4)$
      \item $0,25x^2-x-3=0,5x-5,26\quad\Rightarrow\quad D^*=-0,01<0$: Die Gerade $g$ meidet die Parabel $p$.
      \end{itemize}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{10eh029_l.1}
      \end{center}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \begin{tabular}{r c l}
      $\overline{B_nC_n}(x)$ & = & $y_{C_n}-y_{B_n}$\\
      $\overline{B_nC_n}(x)$ & = & $0,5x + 1 -(0,25x^2-x-3)$\\
                             & = & $0,5x + 1 - 0,25x^2+x+3$\\
      $\overline{B_nC_n}(x)$ & = & $(-0,25x^2+1,5x+4)\,\mathrm{cm^2}$		     
      \end{tabular}
      \end{center}
      
\item F"ur den Fl"acheninhalt $A$ der Dreiecke $A_nB_nC_n$ gilt in Abh"angigkeit von $x$:\\
      $A(x)=\D\frac{1}{2}\cdot4\cdot (-0,25x^2+1,5x+4)\,\mathrm{cm^2}$.\\
      $A(x)=2\cdot (-0,25x^2+1,5x+4)\,\mathrm{cm^2}$.\\
      $A(x)=(-0,5x^2+3x+8)\,\mathrm{cm^2}$.\\
      $x=3$ liefert $A_{max}= 12,5\,\mathrm{cm^2}$.
\item Die beiden Dreiecke $A_3B_3C_3$ und $A_4B_4C_4$ m"ussen gleichschenklig sein:\\
      $\overline{B_nC_n}(x)=4\,\mathrm{cm}:\quad\Rightarrow\quad -0,25x^2+1,5x+4=4$\\
      $\Leftrightarrow\quad x(-0,25x+1,5)=0$\quad
      $\Leftrightarrow\quad x=0\quad\vee\quad x=6$
\item Die Dreiecke $A_nB_nC_n$ k"onnen als Steigungsdreiecke zu den Hypotenusen $[A_nC_n]$ aufgefasst
      werden:\\
      Wenn eine dieser Hypotenusen $[A_nC_n]$ auf der Geraden $g$ liegen soll, dann m"ussen beide
      Steigungsfaktoren "ubereinstimmen; d.h.\\
      
      $\D\frac{-0,25x^2+1,5x+4}{4}=\D\frac{1}{2}\quad\Leftrightarrow\quad-0,5x^2+3x+8=4$\\
      
      $\Leftrightarrow\quad-0,5x^2+3x+4=0\Rightarrow\quad D^*= 17 > 0$.\\
      Also gibt es zwei solche Dreiecke.
\end{enumerate}
}              

