% 9. Kl I und 10. Kl. II/III: quadratische Gleichungen
% +09jk0031.eps
\ANG{%\mbox{}
Das ist ein Bild der Nationalflagge von England.
      \begin{center}
      \EPSBASIS{09jk0031}{8cm}{}
      \end{center}
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $a=11$, $b=16$ und $x=2$ im Ma"sstab 1:2.
\item Zeige rechnerisch:
      \begin{itemize}
      \item F"ur den Fl"acheninhalt $A_w$ des wei"sen Anteils dieser Flagge 
      gilt in Abh"angigkeit von $x$:\\
      \centerline{$A_w(x)=(x^2-27x+176)\,\mathrm{cm^2}$}
      \item F"ur den Fl"acheninhalt $A_k$ des Kreuzes in dieser Flagge 
      gilt in Abh"angigkeit von $x$:\\
      \centerline{$A_k(x)=(-x^2+27x)\,\mathrm{cm^2}$}
      \end{itemize}
\item Berechne $x$ so, dass die Fl"ache des Kreuzes $30\%$ der Gesamtfl"ache
      ausmacht.
\item Berechne $x$ so, dass die Inhalte von wei"ser Fl"ache und Kreuzfl"ache
      gleich sind.
\end{enumerate}
}
\LSG{
 
\begin{enumerate}
\item --
\item \begin{itemize}
      \item Eine M"oglichkeit der L"osung besteht darin, vom Fl"acheninhalt 
            der Flagge denjenigen der beiden "uberlappenden Rechtecke, die 
	    das Kreuz ergeben, zu subtrahieren. Um den Fl"acheninhalt des 
	    Kreuzes zu erhalten, musst du jedoch am Ende den Inhalt des 
	    Quadrates im Zentrum einmal abziehen, weil das Quadrat ja 
	    {\bf beiden} besagten Rechtecken angeh"ort.\\
            Also: $A_w(x)=11\cdot 16\,\mathrm{cm^2}-(11x+16x-x^2)
	    \,\mathrm{cm^2}=(x^2-27x+176)\,\mathrm{cm^2}$
      \item Wie oben schon dargelegt, ergibt sich:\\
            $A_k(x)=(11x+16x-x^2)\,\mathrm{cm^2}=(-x^2+27x)\,\mathrm{cm^2}$
      \end{itemize}
\item Der Fl"acheninhalt des umlaufenden Rechtecks betr"agt
      $176\,\mathrm{cm^2}$.\\
      $30\%$ von $176\,\mathrm{cm^2}=52,8\,\mathrm{cm^2}$.\\
      $52,8=-x^2+27x\quad\Leftrightarrow\quad x^2-27x+52,8=0$
      $$x_{1;2}=\frac{27\pm \sqrt{517,8}}{2}$$
      $x_1= 0,5\cdot (27+\sqrt{517,8})\approx 24,88\quad (\dag)\quad$, 
      wegen $\GG = \,]0;\,11[\,_{\RR}$.\\
      $x_2= 0,5\cdot (27-\sqrt{517,8})\approx 2,12$     
      $\in \GG = ]0;\,11[\,_{\RR}$.\\ 
      Also: $\LL = \{13,5-0,5\sqrt{517,8}\}$.
\item $x^2-27x+176=-x^2+27x \quad\Leftrightarrow\quad 2x^2-54x+176=0$ mit
      $\GG = ]0;\,11[\,_{\RR}$ 
      $$x_{1;2}=\frac{54\pm 2\sqrt{377}}{4}$$
      $x_1= 13,5+0,5\sqrt{377}\approx 23,21\quad (\dag)\quad$, 
      wegen $\GG = \,]0;\,11[\,_{\RR}$.\\
      $x_2= 13,5-0,5\sqrt{377}\approx 3,79 \in \GG = ]0;\,11[\,_{\RR}$.\\ 
      Also: $\LL = \{13,5-0,5\sqrt{377}\}$
\end{enumerate}
}

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