%
\ANG
{
      \begin{center}
      \includegraphics[width=6cm]{09eh072_a1}
      \end{center}
Das Quadrat $ABCD$ mit der Seitenl"ange $\overline{AB}=6\,\mathrm{cm}$ ist aus vier kongruenten
Rechtecken und dem Quadrat $PQRS$ zusammengef"ugt worden. Die k"urzere Seite jedes Rechtecks ist
$x\,\mathrm{cm}$ lang.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $x=1$.
\item Berechne $x$ auf drei verschiedene Arten so, dass alle f"unf Teilfl"achen, die das Quadrat
      $ABCD$ bedecken, gleich gro"s sind.
\item \begin{itemize}
            \item Zeige: Wenn das Quadrat $PQRS$ ein Drittel der Fl"ache des Quadrates $ABCD$
	          einnehmen soll, dann muss\\
		  \centerline{$x=3-\sqrt 3=\D\frac{6}{2}-\D\frac{2}{2}\sqrt 3$}
		  gelten.
            \item Konstruiere die Figur f"ur diesen $x$-Wert.\\
	          {\bf Tipp:} $\D\frac{2}{2}\sqrt 3$ ist so lang wie die H"ohe in einem bestimmten
		  gleichseitigen Dreieck. 
      \end{itemize}
\end{enumerate}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item Die Figur wurde etwas kleiner gezeichnet:
      \begin{center}
      \includegraphics[width=6cm]{09eh072_l1}
      \end{center}
\item {\bf 1. M"oglichkeit:} $A_{Rechteck}=\frac{1}{5}\cdot A_{ABCD}=0,2\cdot A_{ABCD}$\\
      $x(6-x)=0,2\cdot 36\quad\Leftrightarrow\quad x^2-6x+7,2=0\qquad$ {\bf (*)}\\
      
       Mit $\sqrt{D*}=6\sqrt 2$ folgt: $x_{1;2}=\D\frac{6\pm 6\sqrt{0,2}}{2}$
       
       Das Pluszeichen entf"allt, da sonst $x>6$ w"are.\\
       Also gilt: $x = 3-3\sqrt{0,2}\,\approx\,1,66$.\\
       
      {\bf 2. M"oglichkeit:} $A_{PQRS}=\frac{1}{5}\cdot A_{ABCD}$\\
      $(6-2x)^2=0,2\cdot 36\quad\Leftrightarrow\quad 36-24x+4x^2=7,2\\
      \quad\Leftrightarrow x^2-6x+7,2=0\quad$ siehe {\bf (*)}\\
      
      {\bf 3. M"oglichkeit:} $A_{PQRS}=A_{Rechteck}$\\
      $(6-2x)^2=x(6-x)\quad\Leftrightarrow\quad 36-24x+4x^2=6x-x^2\\
      \Leftrightarrow\quad x^2-6x+7,2=0\quad$ siehe {\bf (*)}\\     
\item 
\begin{itemize}
            \item $(6-2x)^2=\D\frac{1}{3}\cdot 36\quad\Leftrightarrow\quad x^2-6x+6=0$; 
	          $x_{1;2}=\D\frac{6\pm 2\sqrt{3}}{2}$
		  
       Das Pluszeichen entf"allt wieder, da sonst $x>6$ w"are.\\
       Also gilt: $x = 3-\sqrt{3}=\D\frac{6}{2}-\D\frac{2}{2}\sqrt 3$.
	          
            \item Die Seite $[AB]$ besitzt den Mittelpunkt M.\\
	          Weiter gilt: $\overline{DM}=
	          \overline{ME}=1\,\mathrm{cm}$. Die Punkte $M$ und $A$ sind die Mittelpunkte der
		  beiden Kreisb"ogen.
                  \begin{center}
                   \includegraphics[width=6.9cm]{09eh072_l2}
                  \end{center}
		  Unter der Basis $[DE]$ wurde das gleichseitige Dreieck $DFE$ mit der Seitenl"ange
		  $2\,\mathrm{cm}$ konsturiert. Also ist die H"ohe $\overline{MF}=
		  \D\frac{2}{2}\sqrt 3\,\mathrm{cm}$ lang. Dann gilt auch $\overline{MF}=
		  \overline{MG}$. Dann ist aber $\overline{AG}=(3-\D\frac{2}{2}\,\sqrt 3)
		  \,\mathrm{cm}= (3-\sqrt 3)\,\mathrm{cm}=x\,\mathrm{cm}=\overline{AP}$.
      \end{itemize}
\end{enumerate}
}

