%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh139_a1.1}
      \end{center}
In das Rechteck $ABCD$ mit $\overline{AB}=8\,\mathrm{cm}$ und $\overline{BC}=6\,\mathrm{cm}$ werden Parallelogramme $P_nQ_nR_nS_n$ einbeschrieben, wobei gilt: $\overline{BP_n}=\overline{DR_n}=6k\,\mathrm{cm}$ und
$\overline{AS_n}=\overline{CQ_n}=8k\,\mathrm{cm}$ mit $k\in \, ]0;\,1[_{\RR}$\,.
\begin{enumerate}
\item Zeichne das Rechteck $ABCD$ und f"ur $k=0,25$ das Parallelogramm $P_1Q_1R_1S_1$\,.
\item Zeige: F"ur das Verh"altnis $q$ der Fl"acheninhalte der Parallelogramme $P_nQ_nR_nS_n$ zum Rechteck $ABCD$ gilt in Abh"angigkeit von $k$:
\begin{center}
$q(k)=\D\frac{A_{P_nQ_nR_nS_n}}{A_{ABCD}}=1-2k(1-k)$\,.
\end{center}
\item $k=0,4$ erzeugt das Parallelogramm $P_2Q_2R_2S_2$\,. Wie viel Prozent der Fl"ache des Rechtecks $ABCD$ wird von diesem Parallelogramm eingenommen?
\item Unter allen Parallelogrammen $P_nQ_nR_nS_n$ gibt es die Parallelogramme $P_3Q_3R_3S_3$ und $P_4Q_4R_4S_4$, die jeweils $58\%$ der Fl"ache des Rechtecks $ABCD$ einnehmen. Berechne die zugeh"origen Belegungen von $k$\,.
\item F"ur $k=0,5$ wird das Parallelogramm $P_5Q_5R_5S_5$ erzeugt.
\begin{itemize}
\item Zeichne dieses Parallelogramm in einer anderen Farbe ein.
\item Um welches besondere Parallelogramm handelt es sich hier? Begr"unde deine Antwort.
\item Zeige: Unter allen Parallelogrammen $P_nQ_nR_nS_n$ besitzt dieses Parallelogramm $P_5Q_5R_5S_5$ den kleinsten Fl"acheninhalt.
\end{itemize}
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh139_l1.1}
      \end{center}
\item Es gilt $\Delta\,S_nBP_n\cong\Delta\,R_nQ_nD$ und $\Delta\,P_nCQ_n\cong\Delta\,AS_nR_n$\,.\\
$A_{ABCD}=48\,\mathrm{cm^2}$\\
$A_{P_nQ_nR_nS_n}=A_{ABCD}-2\cdot A_{\Delta\,S_nBP_n}-2\cdot A_{\Delta\,P_nCQ_n}$\,.\\
$2\cdot A_{\Delta\,S_nBP_n} =2\cdot 0,5\cdot\overline{S_nB}\cdot\overline{BP_n}=
(1-k)\cdot8\,\mathrm{cm}\cdot6k\,\mathrm{cm}=48\,\mathrm{cm^2}\cdot(1-k)\cdot k$\,.\\
$2\cdot A_{\Delta\,P_nCQ_n} =2\cdot 0,5\cdot\overline{P_nC}\cdot\overline{CQ_n}=
(1-k)\cdot6\,\mathrm{cm}\cdot8k\,\mathrm{cm}=48\,\mathrm{cm^2}\cdot(1-k)\cdot k$\,.
\begin{eqnarray*}
A_{P_nQ_nR_nS_n} & = & 48\,\mathrm{cm^2}-2\cdot48\,\mathrm{cm^2}\cdot(1-k)\cdot k\\
A_{P_nQ_nR_nS_n} & = & 48\,\mathrm{cm^2}\cdot[1-2k(1-k)]
\end{eqnarray*}
\begin{center}
$\Rightarrow\quad q(k)=\D\frac{A_{P_nQ_nR_nS_n}}{A_{ABCD}}=
\D\frac{48\,\mathrm{cm^2}\cdot[1-2k(1-k)]}{48\,\mathrm{cm^2}}=1-2k(1-k)$\,.\vspace{2mm}
\end{center}
\item $q(0,4)=1-2\cdot0,4\cdot(1-0,4)=0,52=52\%$
\item \begin{eqnarray*}
1-2k(1-k) & = & 0,58\\
2k^2-2k+1 & = & 0,58\\
2k^2-2k+0,42 & = & 0
\end{eqnarray*}
$\Rightarrow\quad k_1=0,3\quad\text{und}\quad k_2=0,7$
\item 
\begin{itemize}
\item Siehe Zeichnung.
\item Es handelt sich um eine Raute.\\
Begr"undung: Die vier rechtwinkligen Dreiecke $S_5BP_5$, $P_5CQ_5$, $R_5Q_5D$ und $AS_5R_5$ sind kongruent, denn die besitzen jeweils Katheten, die jeweils $3\,\mathrm{cm}$ bzw. $4\,\mathrm{cm}$ lang sind. Also sind auch ihre Hypotenusen, die die Seiten des Parallelogramms $P_5Q_5R_5S_5$ bilden, gleich lang. Also ist dieses Viereck eine Raute.
\item $q(k)=1-2k(1-k)=2k^2-2k+1=2(k^2-k+0,5^2-0,25)+1=2[(k-0,5)^2-0,25)+1]=2(k-0,5)^2+0,5$\\
$k=0,5$ liefert den minimalen Fl"achenanteil von $0,5=50\%$\,.
\end{itemize}
\end{enumerate}
}
