% 9I/II Flächeninhalt ebener Vielecke
% + cs_08.eps
\ANG{\mbox{}
Das ist ein Bild der Nationalflagge der Tschechischen Republik.
      \begin{center}
      \EPSBASIS{09x50021}{7.5cm}{}
      \end{center}
Es gilt: $\overline{AB}=8\,\mathrm{cm}$ und $\overline{AD}=\overline{EF}=
x\,\mathrm{cm}$ mit $x\in\RR^+$.\\
{\bf Hinweis:} Alle Ergebnisse sind gegebenenfalls auf zwei Stellen nach dem
Komma zu runden. 
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $x=4,5$.      
\item Berechne den Fl"acheninhalt $A_T$ des Trapezes $ABFE$ in Abh"angigkeit von
      $x$.\\
      \centerline{[ Ergebnis: $A_T(x) = (0,25x^2+2x)\,\mathrm{cm^2}$ ]}
\item Untersuche auf verschiedene Weise, ob es eine Belegung f"ur $x$ gibt, so 
      dass der Fl"acheninhalt des Trapezes $ABFE$ den Wert $33\,\mathrm{cm^2}$
      annimmt. 
\item Berechne $x$ so, dass die Inhalte aller drei Teilfl"achen im Inneren des
      Rechtecks $ABCD$  gleich gro"s sind.
\item Berechne $x$ so, dass das Dreieck $AED$ gleichseitig wird.
\item Berechne $x$ so, dass das Dreieck $AED$ gleichschenklig-rechtwinklig wird.
\end{enumerate}
}
\LSG{
 
\begin{enumerate}
\item --
\item $$A_T(x)=\frac{8+x}{2}\cdot\frac{x}{2}\,\mathrm{cm^2}=
     \frac{x^2+8x}{4}\,\mathrm{cm^2}=(0,25x^2+2x)\,\mathrm{cm^2}$$
\item 1. M"oglichkeit (m"uhsam):\\
      $0,25x^2+2x=33\quad \Leftrightarrow \quad 0,25(x+4)^2=37
      \quad \Leftrightarrow \quad(x+4)^2=148$(*)\\
      Wegen $x\in\RR^+$ ist (*) gleichwertig mit $x=2\sqrt{37}-4>8$, was wegen 
      $\overline{EF}=x\,\mathrm{cm}\LQ\overline{AB}=8\,\mathrm{cm}$ nicht
      geht.\\
      2. M"oglichkeit:\\
      Damit das Dreieck $AED$ existiert, muss $x<8$ gelten. Das Trapez $ABFE$
      nimmt stets weniger als die H"alfte des Rechtecks $ABCD$ ein. Also muss
      stets $A_T<32\,\mathrm{cm}^2$ sein und damit kann dieser Fl"acheninhalt
      nicht gr"o"ser als $32\,\mathrm{cm}^2$ (n"amlich $33\,\mathrm{cm}^2$)
      sein.
\item Der Fl"acheninhalt des Rechtecks $ABCD$ muss dreimal so gro"s sein wie der
      Fl"acheninhalt des Trapezes $ABFE$:\\
      $3\cdot(0,25x^2+2x)=8x\quad\Rightarrow\quad 0,75x^2-2x=0$
      $\Rightarrow\quad x(0,75x-2)=0\quad\Rightarrow\quad$
      $x=0$ \dag \quad wegen $x\in\RR^+ \quad \vee\quad
      0,75x-2=0\Rightarrow\quad x\approx 2,67$
\item Es muss gelten: 
      $$8-x=\frac{x}{2}\sqrt 3\quad \Leftrightarrow \quad 
      x=\frac{16}{2+\sqrt 3}\quad \Leftrightarrow \quad x\approx 4,29$$
\item Es muss gelten: 
      $$x + \frac{x}{2}=8\quad \Leftrightarrow \quad 1,5x=8
      \quad \Leftrightarrow \quad x\approx 5,33$$
\end{enumerate}
}

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