
%
\ANG
{Gegeben sind die beiden Geraden $g_1$ und $g_2$ durch die Gleichungen\\
\centerline{$g_1: y = 0,5x$ und $g_2: y = -0,5x+2$.}\\
Die Punkte $A_n(x\mid 0,5x)$ auf der Geraden $g_1$ erzeugen zusammen mit den Punkten $B_n$ auf der Geraden
$g_2$ Kreise $k_n$ mit dem Durchmesser $[A_nB_n]$. Die Abszisse der Punkte $B_n$ ist stets um 2 gr"o"ser als
die Abszisse $x$ der Punkte $A_n$.

\begin{enumerate}
\item \begin{itemize}
      \item Zeichne die beiden Geraden $g_1$ und $g_2$ und deren Schnittpunkt $S$ in das Koordinatensystem.
      \item Zeichne f"ur $x=5$ den Kreis $k_1$ mit seinem Durchmesser $[A_1B_1]$ 
            und f"ur $x=-3$ den Kreis $k_2$ mit seinem Durchmesser $[A_2B_2]$ ein.
      \end{itemize}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh022_a1.1}
      \end{center}

\item Zeige, dass $B_n(x+2\mid -0,5x+1)$ gilt.
\item Begr"unde auf verschiedene Weise, dass der Durchmesser $[A_2B_2]$ auf der Geraden $g_2$ senkrecht
      steht.
\item Es gibt einen Kreis $k_3$, der die Gerade $g_1$ ber"uhrt. Berechne den zugeh"origen $x$-Wert.
\item Berechne die Gleichung der Ortslinie der Mittelpunkte $M_n$.
\item Zeige: F"ur die L"ange der Durchmesser $[A_nB_n]$ gilt in Abh"angigkeit von $x$:\\
      \centerline{$\overline{A_nB_n}(x) = \sqrt{x^2-2x+5}\,\,\mathrm{cm}$}
\item Fritz behauptet: \GF{Wenn die Kreisfl"ache minimal wird, dann liegt der betreffende
      Kreismittelpunkt dem Geradenschnittpunkt $S$ am n"achsten.}
      Begr"unde auf verschiedene Weise, dass Fritz Recht hat.
\item Unter allen Kreisen $k_n$ gibt es zwei, welche einen Fl"acheninhalt von $17\,\pi\,\mathrm{cm^2}$
      aufweisen. Berechne die zugeh"origen Abszissenwerte.
\item Unter allen Kreisen $k_n$ gibt es zwei, welche die $y$-Achse ber"uhren.
      Berechne die zugeh"origen $x$-Werte.
\end{enumerate}

}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh022_l1.1}
      \end{center}
\item Es gilt: $B_n(x+2\mid -0,5\cdot (x+2)+2)\quad\Rightarrow\quad
      B_n(x+2\mid -0,5x+1)$
\item 1. M"oglichkeit: aus der Zeichnung\\
      Im rechtwinkligen Dreieck $A_2F_2B_2$ gilt: $\alpha + \beta = 90^\circ$. (*)\\
      Die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks $A_2F_2B_2$ sind jeweils doppelt so lang
      wie die des rechtwinkligen Dreiecks $H_2G_2B_2$. Also sind diese beiden Dreiecke
      zueinander "ahnlich.\\
      Also gilt: $\sphericalangle H_2B_2G_2 = \alpha$ und 
      $\sphericalangle B_2G_2H_2 = \beta$.\\
      Wegen (*) muss der Punkt $B_2$ der Scheitel eines rechten Winkels sein.\\
      Also folgt: $[A_2B_2] \perp g_1$.\\
      
      2. M"oglichkeit: rechnerisch\\
      Der Steigungsfaktor der Strecke $[A_2B_2]$ m"usste so gro"s wie der negative
      Kehrwert des Steigungsfaktors $-0,5$ der Geraden $g_2$ sein. Er m"usste also den
      Wert 2 besitzen:\\
      $A_2(-3\mid -0,5\cdot (-3)+1)$ = $(-3\mid -1,5)$ und\\
      $B_2(-3+2\mid -0,5\cdot(-3)+1)= (-1\mid 2,5)$\\
      Also gilt:\\
      $m_{[A_2B_2]} = \D\frac{2,5+1,5}{-1+3}=2$, was zu zeigen war.      
      Also folgt: $[A_2B_2] \perp g_1$.\\
      
\item Einer der Durchmesser $[A_nB_n]$ muss auf der Geraden $g_1$ senkrecht stehen, wenn
      der betreffende Kreis die Gerade $g_1$ ber"uhren soll.
      Der Wert eines der Steigungsfaktoren der Durchmesser $[A_nB_n]$ muss also der
      negative Kehrwert des Steigungsfaktors der Geraden $g_1$ sein. Somit ergibt sich
      :\\
      
      $m_{[A_nB_n]} = \D\frac{(-0,5x+1)-0,5x}{(x+2)-x}= \D\frac{-x+1}{2}$\\
      Also:$\quad\D\frac{-x+1}{2}=-2\quad\Rightarrow\quad x = 5$
\item Es gilt: $M_n\left(\D\frac{(x+2)+x}{2}\mid
      \D\frac{(-0,5x+1)+0,5x}{2}\right)=(x+1\mid 0,5)$\\
      
      Der $y$-Wert ist also immer konstant $0,5$. Also hei"st die Gleichung der Ortslinie der Mittelpunkte
      $M_n : y = 0,5$. Die Kreismittelpunkte liegen also auf einer Parallelen zur $x$-Achse im Abstand von
      $0,5\,\mathrm{cm}$, die durch den I. und II. Quadranten verl"auft.
\item $\overline{A_nB_n}(x)^2 = (x+2-x)^2+(-0,5x+1-0,5x)\,\mathrm{cm^2}$\\
      $\Rightarrow\quad\overline{A_nB_n}(x)^2 = 2^2 + (1-x)^2\,\mathrm{cm^2}$\\
      $\Rightarrow\quad\overline{A_nB_n}(x) = \sqrt{x^2-2x+5}\,\,\mathrm{cm}$
\item 1. M"oglichkeit: mit Hilfe der Zeichnung\\
      Die Kreisfl"ache wird minmal, denn der betreffende Kreisdurchmesser am kleinsten ist.
      Das Ergebnis der Aufgabe (f) weist darauf hin, dass es solch einen k"urzesten Durchmesser
      $[A_0B_0]$ gibt.\\
      Die Kreisdurchmesser sind die Hypotenusen der begleitenden rechtwinkligen Dreiecke (siehe z.B. das
      Dreieck $A_2F_2B_2$ in der Zeichnung). 
      Die waagrechte Kathete dieser Dreiecke ist stets $2\,\mathrm{cm}$ lang.\\
      K"urzer als $2\,\mathrm{cm}$ kann der Kreisdurchmesser also nicht werden. Um dieser L"ange
      m"oglichst nahe zu kommen, muss der Durchmesser daher m"oglichst waagrecht liegen.\\
      Alle Punkte $A_n$ auf der Geraden $g_1$, die rechts vom Punkt $S$ liegen, erzeugen schr"ag abw"arts
      gerichtete Kreisdurchmesser, die mit wachsenden Abszissenwert $x$ eher steiler als flacher
      verlaufen.\\
      Ebenso geht es mit Durchmessern $[A_nB_n]$, deren Endpunkte beide links von $S$ liegen: Sie lassen
      sich nicht in die Waagrechte zwingen.\\
      Also kann der gesuchte waagrechte Durchmesser nur dort gefunden werden, wo ein Endpunkt
      links und der andere rechts von $S$ liegt. Aus Symmetriegr"unden muss dann der betreffende Endpunkt
      $A_0$ $1\,\mathrm{cm}$ links und der zugeh"orige Punkt $B_0$ $1\,\mathrm{cm}$ rechts von $S$
      liegen: $A_0(1\mid 0,5)$ und $B_0(3\mid 0,5)$. Die Strecke $[A_0B_0]$ ist dann 
      $2\,\mathrm{cm}$ lang und stellt das zur Strecke entartete begleitende Dreieck dar.
      Der Streckenmittelpunkt $M_0(2\mid 0,5)$ kommt dann dem Punkt $S$ am n"achsten. Fritz hat Recht.
      Betrachte auch die Zeichnung.\\
      
      2. M"oglichkeit: durch Rechnung\\
      $\sqrt{x^2-2x+5}= \sqrt{(x-1)^2+4}$\\    
      $x=1$ liefert den minimalen Durchmesser $d_{min}=2\,\mathrm{cm}$ und damit auch die minimale
      Kreisfl"ache.\\
      Die Koordinaten des zugeh"origen Mittelpunktes $M_0$ sind nach Aufgabe (e): $(2\mid 0,5)$.\\
      Aus der Zeichnung kann man die Koordinaten des Geradenschnittpunktes $S$ ablesen:
      $(2\mid 1)$, was du durch Einsetzen in beide Geradengleichungen best"atigen k"onntest.\\
      Also stellt die Strecke $[M_0S]$ die k"urzeste Entfernung zwischen der Ortslinie und dem Punkt $S$
      dar. Fritz hat Recht.\\
\item $\left(\D\frac{1}{2}\sqrt{x^2-2x+5}\right)^2\pi=17\,\pi\quad\Rightarrow\quad x^2-2x+5 = 4\cdot
      17$\\
      
      $\Rightarrow\quad x^2 -2x - 63 = 0 \quad\Rightarrow\quad\ldots\quad\Rightarrow
      x_1 = 9$ und $x_2 = -7$\\
\item Der Abstand der betreffenden Mittelpunkte zur $y$-Achse, also ihr Abszissenwert $x+1$
      muss genauso gro"s wie der zugeh"orige Kreisradius sein:\\
      
      $\left(\D\frac{1}{2}\sqrt{x^2-2x+5}\right) = x + 1\quad \mid ^2$\\
      
      $x^2-2x+5=4x^2+8x+4\quad\Rightarrow\quad 3x^2+10x-1=0$\\
      
      $\Rightarrow\quad D^* = 112$ und $\sqrt{D^*}\approx 10,58$\\
      
      $\Rightarrow\quad x_{1;2} \approx \D\frac{-10\pm 10,58}{6}
      \quad\Rightarrow\quad x_1 \approx -3,43$ und $x_2 \approx -0,10$.\\
      
      F"ur beide Abszissenwerte existieren die betreffenden Durchmesser.\\
      {\bf Anmerkung:} F"ur diese Aufgabe gibt es die GEONExT-Datei $09eh118\_l1.gxt$.
\end{enumerate}
}              

