
%
\ANG
{Gegeben sind die beiden Geraden $g_1$ und $g_2$ durch die Gleichungen

\centerline{$g_1: y =-\D\frac{1}{3}x+2,5$ und $g_2: y = \D\frac{2}{3}x-0,5$.}

Punkte $A_n(x\mid -\D\frac{1}{3}x+2,5)$ auf der Geraden $g_1$ erzeugen zusammen mit 
Punkten $C_n$ auf der Geraden $g_2$ Rauten $A_nB_nC_nD_n$ mit dem jeweiligen Mittelpunkt $M_n$.\\
Die Punkte $A_n$ und $C_n$ haben dabei stets den gleichen Abszissenwert und die Diagonalen $[B_nD_n]$ sind
stets $4\,\mathrm{cm}$ lang.
\begin{enumerate}
      \item 
      \begin{itemize}
            \item Zeichne die beiden Geraden $g_1$ und $g_2$ und deren Schnittpunkt $S$ in das 
	          Koordinatensystem.
            \item Zeichne f"ur $x=6$ die Raute $A_1B_1C_1D_1$ 
                  und f"ur $x=-1,5$  die Raute $A_2B_2C_2D_2$ ein.
      \end{itemize}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh023_a1.1}
      \end{center}

\item F"ur welche Belegungen von $x$ erh"alt man solche Rauten $A_nB_nC_nD_n$?
\item \begin{itemize}
      \item Zeige: F"ur die Diagonalenl"angen $\overline{A_nC_n}$ erh"alt man in Abh"angigkeit von $x$:\\
            \centerline{$\overline{A_nC_n}(x)=\mid x-3 \mid\,\mathrm{cm}$.}
      \item Best"atige mit diesem Ergebnis das Ergebnis der Aufgabe (b).
      \end{itemize}
\item Berechne $x$ so, dass die entsprechenden Rauten Quadrate sind.
\item Unter allen Rauten $A_nB_nC_nD_n$ gibt es solche, deren Fl"acheninhalt $20\,\mathrm{cm^2}$
      betr"agt. Berechne die zugeh"origen $x$-Werte.
\item Berechne die Koordinaten der Mittelpunkte $M_n$ in Abh"angigkeit von $x$.\\
      \centerline{$\left[\text{ Ergebnis: }M_n\left(x\mid \D\frac{1}{6}x+1\right)\, \right]$ .}
\item Unter allen Rauten $A_nB_nC_nD_n$ gibt es eine Raute $A_0B_0C_0D_0$, deren Mittelpunkt $M_0$ dem
      Koordinatenursprung am n"achsten liegt. Berechne den zugeh"origen $x$-Wert und die minimale Distanz.
\item Unter allen Rauten $A_nB_nC_nD_n$ gibt es die Raute $A_3B_3C_3D_3$, deren Diagonale $[B_3D_3]$ auf der
      $x$-Achse liegt. Berechne die Koordinaten der Eckpunkte dieser Raute auf verschiedene Weise.
\end{enumerate}

}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh023_l1.1}
      \end{center}
\item Wenn sich die Rauten $A_nB_nC_nD_n$ auf den Geradenschnittpunkt $S$ zubewegen, 
      dann werden die Diagonalen $[A_nC_n]$ immer k"urzer. Im Schnittpunkt $S$ selbst 
      entartet die betreffende \GF{Raute} zur Strecke.\\
      Aus der Zeichnung ergibt sich: $S(3\mid 1,5)$.\\
      Rechnung: $g_1 \cap g_2: -\frac{1}{3}x + 2,5 =\frac{2}{3}x - 0,5\quad\Rightarrow\quad
      x = 3$.\\
      Also gibt es nur Rauten f"ur $x \in \, \RR\setminus \{3\}$.
\item \begin{itemize}
      \item Es gilt: $C_n(x\mid \frac{2}{3}x-0,5)$. Wir rechnen im Folgenden meist nur mit Ma"szahlen.\\
            $\overline{A_nC_n}(x)= \sqrt{(x-x)^2+\left[(\frac{2}{3}x-0,5)-(-\frac{1}{3}x+2,5)\right]^2}
             =\sqrt{(x-3)^2}$\\
	     $\Rightarrow\quad \overline{A_nC_n}(x) = \mid x-3\mid \,\mathrm{cm}\ldots$ und nicht nur
	     $(x-3)\,\mathrm{cm}$!
      \item  F"ur $x = 3$ wird die Diagonalenl"ange 0. Also gibt es f"ur diesen $x$-Wert keine Raute.
      \end{itemize}
\item Wenn eine der Rauten $A_nB_nC_nD_n$ zum Quadrat werden soll, m"ussen dessen Diagonalen gleich lang
      sein.\\
      Also: $\mid x-3\mid = 4\quad\Leftrightarrow\quad x - 3 = 4 \,\vee\, x - 3 = -4\quad\Rightarrow\quad
      \LL = \{-1;\,7)\}$
\item F"ur den Fl"acheninhalt $A$ der Rauten $A_nB_nC_nD_n$ gilt in Abh"angigkeit von $x$:\\
      $A(x) = \frac{1}{2}\cdot 4\,\cdot\mid x-3\mid\,\mathrm{cm^2} =2\cdot\mid x-3\mid\,\mathrm{cm^2}$\\
      Also: $2\,\cdot\mid x-3\mid = 20\quad\Leftrightarrow\quad x-3= 10\,\vee\,x-3=-10$
      $\quad\Rightarrow\quad\LL=\{-7;\,13\}$
\item $M_n\left(\D\frac{x+x}{2}\mid \D\frac{(-\frac{1}{3}x+2,5)+\frac{2}{3}x-0,5)}{2}\right)
      = (x\mid\frac{1}{6}x+1)$
\item F"ur die Entfernungen $\overline{OM_n}$ gilt in Anh"angigkeit von $x$:\\

      \begin{tabular}{c c l l}
      $\overline{OM_n}(x)^2$ & = & $x^2+(\frac{1}{6}x+1)^2$ & $\,\mathrm{cm^2}$\\
                             & = & $x^2+\frac{1}{36}x^2+\frac{1}{3}x+1$ & $\,\mathrm{cm^2}$\\
      $\overline{OM_n}(x)^2$ & = & $\frac{37}{36}x^2+\frac{1}{3}x+1$ & $\,\mathrm{cm^2}$\\
      \\
                             & = & $\D\frac{37}{36}\left[x^2+\D\frac{12}{37}x+
			            \left(\D\frac{6}{37}\right)^2
				    -\D\frac{36}{1369}+\D\frac{36}{37}\right]$ & $\,\mathrm{cm^2}$\\
      \\
			     & = & $\D\frac{37}{36}\left[\left(x+\D\frac{6}{37}\right)^2+
			            \D\frac{-36+1332}{1369}\right]$ & $\,\mathrm{cm^2}$\\
      \\
      $\overline{OM_n}(x)$   & = & $\sqrt{\D\frac{37}{36}\left(x+\D\frac{6}{37}\right)^2
                                    +\D\frac{36}{37}}$ & $\,\mathrm{cm}$
      \end{tabular}\\
      
      $x = -\frac{36}{37} \approx -0,16$ liefert
      $\overline{OM_0} = \sqrt{\D\frac{36}{37}}\,\mathrm{cm} \approx 0,97\,\mathrm{cm}$. Das ist die
      k"urzeste Entfernung.\\
      {\bf Amerkung:} Es gibt zu dieser Aufgabe eine GEONExT-Datei: $09eh119.gxt$
\item 1. M"oglichkeit:\\    
      Wenn die Diagonale $[B_3D_3]$ auf der $x$-Achse liegt, dann liegt auch der zugeh"orige Mittelpunkt $M_3$ 
      auf ihr. Dann muss dessen $y$-Wert 0 sein:\\
      $\frac{1}{6}x+1=0\quad\Leftrightarrow\quad x = -6\quad\Rightarrow A_3(-6\mid -\frac{1}{3}\cdot (-6)+2,5)
      =(-6\mid 4,5)$\\
      Weiter folgt: $C_3(-6\mid \frac{2}{3}\cdot (-6)-0,5)=(-6\mid -4,5)$\\
      Der Punkt $B_3$ liegt 2 LE weiter links von $M_3$ auf der $x$-Achse: $B_3(-8\mid 0)$.\\
      Der Punkt $C_3$ liegt 2 LE weiter rechts von $M_3$ auf der $x$-Achse: $C_3(-4\mid 0)$.\\
      2. M"oglichkeit: Wie du in der 1. M"oglichkeit gesehen hast, muss die $x$-Achse die Symmetrieachse 
      der Raute $A_3B_3C_3D_3$ sein, denn die $y$-Werte der Punkte $A_3$ und $C_3$ unterscheiden sich
      lediglich durch das Vorzeichen. Also kannst du jetzt z.B. ansetzen: $y_{C_n}=-y_{A_n}$.\\
      $\frac{2}{3}x-0,5 = -(-\frac{1}{3}x+2,5)\quad\Leftrightarrow\quad \frac{2}{3}x -0,5 = \frac{1}{3}x-2,5
      \quad\Leftrightarrow\quad x = -6$\\
      Der Rest ist schon in der 1. M"oglichkeit dargestellt.
\end{enumerate}
}              

