%
%
\ANG
{\mbox{}
\begin{center}
\includegraphics{09eh030_a.1}
\end{center}
Das K"onigreich Al'Gebr besteht aus drei gleich gro"sen Provinzen. Das Bild seiner Nationalflagge ist oben
dargestellt.\\
(1): K"ustenregion, (2): S"udregion und (3): Nordregion. Die Punkte $P$, $Q$ und $M$ sind
Seitenmittelpunkte.\\
Der K"onig von Al'Gebr hat den Eindruck, dass die drei Provinzen im Flaggenbild nicht gleich gro"s
dargestellt sind. Er m"ochte das ge"andert haben.

\begin{enumerate}
\item 
      \begin{itemize}
             \item Zeichne die Flagge f"ur $\overline{AB}= 6\,\mathrm{cm}$ und 
	           $\overline{BC}=\overline{GM}=4\,\mathrm{cm}$.
	     \item Begr"unde, dass der K"onig mit seinem Eindruck in diesem Fall Recht h"atte.
      \end{itemize}
\item Er beauftragt seine Rechenmeister und Designer, den Punkt $G$ bei sonst unver"anderlicher Aufteilung so
      zu legen, dass die drei farbigen Fl"achen im Flaggenbild gleich gro"s sind.
      \begin{itemize}
             \item Es gilt $\overline{GM}= x\,\mathrm{cm}$. Zeige: F"ur den Fl"acheninhalt der S"udregion
	           gilt: $A_2 = (x+3)\,\mathrm{cm^2}$
	     \item Berechne $x$ so, dass alle drei Teilfl"achen gleich gro"s sind.\\
	           Wie sieht die Flagge dann aus?
      \end{itemize}
\end{enumerate}

}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item
      \begin{itemize}
      \item Beschrifte deine Zeichung mit Ma"szahlen:
            \begin{center}
            \includegraphics{09eh030_l2.1}
            \end{center}
      \item 1. M"oglichkeit: durch Rechnung\\
            Das gr"une und das rote Trapez sind kongruent.\\
	    Rote Fl"ache $A_3=0,5\cdot(4+3)\cdot 2\,\mathrm{cm^2}=7\,\mathrm{cm^2}$\\
	    Die blaue Fl"ache (1) l"asst sich in zwei kongruente Trapeze zerlegen:\\
	    $A_1=[0,5\cdot(2+3)\cdot 2]\cdot 2 \,\mathrm{cm^2}=10\,\mathrm{cm^2}>A_3$\\
	    Der Eindruck hat den K"onig nicht get"auscht.\\
	    
	    2. M"oglichkeit: anschaulich\\
	    Die Hilfslinie $[EF]$ verl"auft durch die Punkte $K$ und $L$, die die Mittelpunkte der Strecken 
	    $[GP]$ und $[GQ]$ sind.\\
	    Dann besitzt das F"unfeck $QBCPG$ den gleichen Fl"acheninhalt wie das  Rechteck $FBCE$.
	    Ebenso besitzt dann das F"unfeck $AQGPD$ den gleichen Fl"acheninhalt wie das  Rechteck $AFED$.
	    Die blaue Fl"ache nimmt also knapp die H"alfte der Flagge ein. Dann kann dies f"ur die rote
	    und die gr"une Fl"ache der Flagge nicht auch noch gelten. Der K"onig hat sich nicht get"auscht.
      \end{itemize}
\item 
      \begin{itemize}
            \item\mbox{}
            \begin{center}
            \includegraphics{09eh030_l3.1}
            \end{center}
	    \item F"ur die trapezf"ormige S"udregion gilt:\\
	          $A_2=0.5\cdot (x+3)\cdot 2\,\mathrm{cm^2}=(x+3)\,\mathrm{cm^2}=A_3$.
	          Die blaue Fl"ache l"asst sich in zwei kongruente Trapeze zerlegen.
	          Somit muss $A_2=A_1$ gelten: $x+3=0,5\cdot [3+(6-x)]\cdot 2\cdot 2
		  \quad\Leftrightarrow\quad x+3=18-2x\quad\Leftrightarrow\quad x=5$\\
		  
		  Die Flagge sieht dann so aus:
                 \begin{center}
                 \includegraphics{09eh030_l4.1}
                 \end{center}
		  
      \end{itemize}	    
\end{enumerate}
}

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