%
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\ANG
{\mbox{}
\begin{center}
\includegraphics{09eh035_a.1}
\end{center}
Im Baumarkt werden quadratische Fliesen wie oben abgebildet angeboten.\\
Das Quadrat mit der Seitenl"ange $a\,\mathrm{cm}$ ist aus jeweils kongruenten Rauten, Dreiecken 
und kleineren Quadraten mit der Seitenl"ange $x\,\mathrm{cm}$ zusammengef"ugt.
\begin{enumerate}
\item Begr"unde: Die Dreiecke m"ussen gleichschenklig-rechtwinklig sein.
\item
      \begin{itemize}
            \item Zeige, dass $x=\D\frac{a}{2+\sqrt 2}$ gilt.
            \item Zeige, dass $x=a-\D\frac{a}{2}\sqrt 2$ gilt.
      \end{itemize}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh035_l2.1}
      \end{center}
      Die Punkte $R$ und $S$ sind die Mittelpunkte der beiden Kreisb"ogen.
      Begr"unde, dass das so konstruierte Quadrat $ABRD$ eines der kleinen Quadrate in der
      Fliese darstellt.     
\item Konstruiere die Figur f"ur $a=8\,\mathrm{cm}$.
\end{enumerate}

}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
\begin{center}
\includegraphics{09eh035_l1.1}
\end{center}
Aus Symmetriegr"unden ist das Dreieck $EFD$ gleichschenklig.\\
Die Diagonale $[QS]$ im Quadrat $PQRS$ ist ebenfalls Diagonale im Quadrat $KLES$.\\
$\Rightarrow\quad\sphericalangle ELS = 45^\circ \quad\Rightarrow\quad\sphericalangle MLE = 135^\circ
\quad\Rightarrow\quad\sphericalangle LEF = 45^\circ\quad\Rightarrow\quad \sphericalangle FED =
180^\circ-90^\circ-45^\circ = 45^\circ$\\
Im Dreieck $EFD$ haben damit beide Basiswinkel das Ma"s $45^\circ$, also ist dieses Dreieck
gleichschenklig-rechtwinklig.
\item      
     \begin{itemize}
            \item S"amtliche Rauten besitzen die gleiche Seitenl"ange $x\,\mathrm{cm}$.\\
	          Das Dreieck $EFD$ ist ein halbes Quadrat mit der Seitenl"ange $x\,\mathrm{cm}$ 
		  und der Diagonalenl"ange $\overline{ED}= x\sqrt2\,\mathrm{cm}$.\\
	          Nun folgt: $\overline{RS}= a\,\mathrm{cm} = (x + x\sqrt2 + x)\,\mathrm{cm}
		  \quad\Rightarrow\quad a = x\cdot(2+\sqrt2)$\\
		  $\Rightarrow\quad x = \D\frac{a}{2+\sqrt2}$
	    \item $x = \D\frac{a}{2+\sqrt2}\cdot\D\frac{2-\sqrt2}{2-\sqrt2}=
	          \D\frac{a\cdot(2-\sqrt2)}{2}=a-\D\frac{a}{2}\sqrt2$
      \end{itemize}
\item Es gilt $\overline{MS}=\D\frac{a}{2}\sqrt2\,\mathrm{cm}=\overline{SD}$\\
      $\Rightarrow\quad\overline{DR}=\overline{SR}-\overline{SD}=
      (a-\D\frac{a}{2}\sqrt2)\,\mathrm{cm}\,$, was zu zeigen war.
\item Klar.
\end{enumerate}
}

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