
%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh043_a.1}
      \end{center}
Das Quadrat $PQRS$ wird durch die Strecken $[AE]$ und $[DF]$ in vier gleiche Quadrate
aufgeteilt.
\begin{enumerate}
\item \begin{itemize}
        \item Zeichne die Figur f"ur $\overline{PQ}=8\,\mathrm{cm}$.
	\item Begr"unde: Das Dreieck $AQC$ ist rechtwinklig.
      \end{itemize}
\item Es sei jetzt $\overline{PQ}=2a\,\mathrm{cm}$.\\
      Wie viel Prozent der Fl"ache des Quadrates $PQRS$ wird vom Dreieck $AQC$ bedeckt?
      Vergleiche dazu die Fl"acheninhalte der Dreiecke $FCR$ und $CQR$.
\item In welchem Verh"altnis teilt der Punkt $C$ die Strecke $[AR\,]$? Zeichne dazu im Dreieck
      $ARS$ eine geeignete Hilfslinie ein.
\item In welchem Verh"altnis teilt der Punkt $C$ die Strecke $[QF\,]$?
\end{enumerate}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item
      \begin{itemize}
         \item \mbox{}
                  \begin{center}
                  \includegraphics{09eh043_l1.1}
                  \end{center}
	\item Am Punkt $A$ erkennst du: $\varepsilon+\delta=90^\circ$.\\
	      Die Rechtecke $APQE$, $AERS$ und $DQRF$ sind kongruent.\\
	      $\Rightarrow\quad \sphericalangle QAE=\sphericalangle FQR=
	      \sphericalangle SRA=\varepsilon$\\
	      und $\sphericalangle PAQ=\sphericalangle ARE=\sphericalangle QFR=\delta$.\\
	      Wegen $\varepsilon\,+\, \delta=90^\circ$ und der Innenwinkelsumme von $180^\circ$
	      im Dreieck $CQR$ muss $\sphericalangle QCR=90^\circ$ gelten.
	      Also ist das Dreieck $AQC$ rechtwinklig.
      \end{itemize}
\item Die Dreiecke $CQR$ und $FCR$ sind zueinander "ahnlich. Die Hypotenuse $[QR\,]$ im
      Dreieck $QRC$ ist doppelt so lang wie die die Hypotenuse $[FR\,]$ im Dreieck
      $FCR$. Also ist der Fl"acheninhalt des Dreiecks $QRC$ viermal ($2^2=4$) so gro"s
      wie der des Dreiecks $FCR$.\\
      Damit ist der Fl"acheninhalt des Dreiecks $FQR$ f"unfmal so gro"s wie der
      des Dreiecks $FCR$.
      Weil die Dreiecke $FQR$ und $ARS$ kongruent sind, ist der Fl"acheninhalt des
      Dreiecks $ARS$ auch f"unfmal so gro"s wie der des Dreiecks $FCR$.\\
      Wir bezeichnen den Fl"acheninhalt des Dreiecks $FCR$ kurz mit \GF{$A_{\Delta}$}.\\
      Dann gilt: $A_{PQRS}=20\cdot A_{\Delta}$ und \\
      $A_{\Delta AQC}=20\cdot A_{\Delta}-10\cdot A_{\Delta}-4\cdot A_{\Delta}=
      6\cdot A_{\Delta}$.\\
      
      $\D\frac{A_{\Delta AQC}}{A_{PQRS}}=\D\frac{6\cdot A_{\Delta}}{20\cdot A_{\Delta}}=
      \D\frac{3}{10}=30\%$.\\
      
      \begin{center}
            {\sc Anmerkung}
      \end{center}
      Die Aufgabe (b) ist auch ohne den Vergleich der Fl"achen der beiden Dreiecke $FCR$ und $CQR$
      l"osbar. Dann brauchst du jedoch den Satz des PYTHAGORAS und die Fl"achenformel f"ur
      rechtwinklige Dreiecke. Dazu ein paar Stichpunkte:
      
      $\overline{FQ}=a\cdot\sqrt5$, $\quad\overline{CR}=\D\frac{2a}{\sqrt5}\quad$ und  
      $\quad\overline{CQ}=\D\frac{4a}{\sqrt5}\,$.\\
      
      $\Rightarrow\quad A_{\Delta CQR}=\D\frac{1}{2}\cdot \D\frac{2a}{\sqrt5}\cdot\D\frac{4a}{\sqrt5}
      =\D\frac{4a^2}{5}\,$.\\
      $\Rightarrow\quad A_{\Delta AQC}= 4a^2-2a^2-\D\frac{4a^2}{5}=\D\frac{6}{5}\cdot a^2$ usw.
\item \mbox{}
       \begin{center}
       \includegraphics{09eh043_l2.1}
       \end{center}
       Die gesuchte Hilfslinie ist das Lot $[SG\,]$ vom Eckpunkt $S$ auf die Diagonale $[AR\,]$. Die
       rechtwinkligen Dreiecke $ARS$, $SGR$ und $FCR$ sind zueinander "ahnlich. Eine Kathete ist
       jeweils doppelt so lang wie die andere.\\
       Weil der Punkt $F$ die Hypotenuse $[SR\,]$ halbiert, ist der Punkt $C$ der Mittelpunkt der
       Kathete $[GR\,]$ im Dreieck $SGR$.\\
       Die Dreiecke $AGS$ und $FCR$ sind kongruent: Ihre beiden Hypotenusen sind gleich lang und sie
       stimmen in allen Innenwinkelma"sen paarweise "uberein.\\
       Es gilt also: $\overline{GC}=\overline{GC}=2\cdot\overline{AG}$.\\
       $\Rightarrow\quad\overline{CA}=3\cdot\overline{AG}$ und $\overline{CR}=2\cdot\overline{AG}$.\\
       Also folgt: $\overline{CR}:\overline{CA}=2:3\,$.
\item  Auf der Strecke $[QF\,]$ spielt der Punkt $C$ die gleiche Rolle wie der Punkt $G$ auf der
       Strecke $[AR\,]$.\\
       Also folgt: $\overline{CF}:\overline{CQ}=1:4\,$.
\end{enumerate}
}

