
%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh049_a1.1}
      \end{center}
       F"ur die Figur gilt: $\overline{AC}=\overline{BC}$. Die Kreislinie $k$ ber"uhrt die
       Seiten des Dreiecks $ABC$ in den Punkten $F$, $P$ und $Q$.
\begin{enumerate}
      \item Zeichne die Figur f"ur $c = 5\,\mathrm{cm}$ und $h = 12\,\mathrm{cm}$.
      \item Zeige: $d=\D\frac{h\cdot c}{\sqrt{h^2+c^2}}$.
      \item Zeige: F"ur den Fl"acheninhalt des Dreiecks $AFQ$ gilt: $A_{AFQ}=
      \D\frac{1}{2}\cdot\D\frac{h\cdot c^2}{\sqrt{h^2+c^2}}$.
      \item Es seien $A_{FPCQ}$ der Fl"acheninhalt des Vierecks ${FPCQ}$ und 
            $A_{ABC}$ der Fl"acheninhalt des Dreiecks ${ABC}$.
	    Zeige: $\D\frac{A_{FPCQ}}{{ABC}}=1-\D\frac{c}{\sqrt{h^2+c^2}}$.
      \item In welchem Verh"altnis m"ussen die H"ohe $h$ des Dreiecks $ABC$ und dessen Basisl"ange
            $\overline{AB}$ stehen, damit das Viereck $FPCQ$ $40\%$ der Fl"ache des Dreiecks $ABC$ ausmacht?
      \item Markus meint: \GF{Wenn das Dreieck $ABC$ gleichseitig w"are, dann w"are der Fl"achenanteil des
            Vierecks $FPCQ$ am Dreieck $ABC$ genau \ldots}.\\
	    Was hat Markus erkannt? Wie w"urdest du seine Entdeckung auf verschiedene Weise begr"unden?
\end{enumerate}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item Die Figur wurde im Ma"sstab $1:2$ gezeichnet.
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh049_l1.1}
      \end{center}
      Hier gilt: $\overline{AF}=\overline{AQ}$.\\
      Der Inkreismittelpunkt $M$ ergibt sich aus dem Schnittpunkt zweier Winkelhalbierenden des Dreiecks
      $ABC$.
\item Die Dreiecke $ALQ$ und $AFC$ sind zueinander "ahnlich: $\D\frac{\overline{LQ}}{\overline{FC}}=
      \D\frac{\overline{AQ}}{\overline{AC}}$.\quad (*)\\
      
      $\Delta AFC$: $\overline{AC}=\sqrt{h^2+c^2}$.
      Also folgt mit (*):\quad
      $\D\frac{d}{h}=\D\frac{c}{\sqrt{h^2+c^2}}$\\
      $\Rightarrow\quad d=\D\frac{h\cdot c}{\sqrt{h^2+c^2}}$.
\item $A_{AFQ}=\D\frac{1}{2}\cdot c\cdot d = \D\frac{1}{2}\cdot c\cdot\D\frac{h\cdot c}{\sqrt{h^2+c^2}}=
      \D\frac{1}{2}\cdot\D\frac{h\cdot c^2}{\sqrt{h^2+c^2}}$.
\item $A_{FPCQ}=A_{\Delta ABC}-2\cdot A_{\Delta AFQ}\,\mid \,: A_{\Delta ABC}$\\

      $\Rightarrow\quad\D\frac{A_{FPCQ}}{A_{\Delta ABC}}=1-2\cdot\D\frac{A_{\Delta AFQ}}{A_{\Delta ABC}}
      =1-2\cdot\D\frac{\frac{1}{2}\cdot\D\frac{h\cdot c^2}{\sqrt{h^2+c^2}}}{c\cdot h}
      =1-\D\frac{c}{\sqrt{h^2+c^2}}$.
\item $1-\D\frac{c}{\sqrt{h^2+c^2}}=0,4\quad\Leftrightarrow\quad\D\frac{c}{\sqrt{h^2+c^2}}=0,6\,\mid\,^2$
      \\
      
      $\Rightarrow\quad c^2=0,36h^2+0,36c^2\quad\Rightarrow\quad 0,64c^2=0,36h^2\,\mid\,\sqrt{}$\\
      
      $\Rightarrow\quad
      \D\frac{c}{h}=\D\frac{6}{8}=\D\frac{3}{4}\quad\Leftrightarrow\quad c:h=3:4$.\\
      
      D.h. die Basisl"ange $\overline{AB}=2c$ m"usste $1,5$ mal so lang wie die H"ohe dieses gesuchten
      Dreiecks $ABC$ sein.
\item 1. M"oglichkeit: {\bf anschaulich:}\\
      Im gleichseitigen Dreieck f"allt der Inkreismittelpunkt mit dem H"ohenschnittpunkt zusammen:
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh049_l2.1}
      \end{center}
      Die Seiten $[FP]$, $[PQ]$ und $[QF]$ zerlegen das gleichseitige Dreieck $ABC$ in vier kongruente
      Teildreiecke. Zwei davon nimmt jetzt das Viereck $FPCQ$ ein. Also betr"agt der Fl"achenanteil des
      Vierecks $FPCQ$ am gleichseitigen Dreieck $ABC$ \GF{genau} $50\%$.\\
      
      2. M"oglichkeit: {\bf rechnerisch:}\\
      Wenn das Dreieck $ABC$ gleichseitig ist, gilt: $h=c\cdot\sqrt 3$.\\
      Eingesetzt in das Ergebnis der Aufgabe (d):\\
      
      $\D\frac{A_{FPCQ}}{{ABC}}=1-\D\frac{c}{\sqrt{\left(c\cdot\sqrt 3\right)^2+c^2}}
      =1-\D\frac{c}{\sqrt{4\cdot c^2}}=1-\D\frac{1}{2}=50\%$.           
\end{enumerate}
}

