%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh057_a1.1}
      \end{center}
Die Seite $[AB]$ des Rechtecks $ABCD$ ist $6\,\mathrm{cm}$ und die Seite $[BC]$ ist $x\,\mathrm{cm}$ lang.
Die Punkte $P$ und $R$ sind die Mittelpunkte der betreffenden Rechtecksseiten. Das Viereck $PQRS$ ist ein
Quadrat.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item Zeichne die Figur f"ur $x=3$.
\item Wie viel Prozent der Rechtecksfl"ache nimmt das Quadrat jetzt ein?
\end{itemize}
\item 
\begin{itemize}
\item Zeichne die Figur f"ur $x=8$.
\item F"ur welche Belegungen von x liegen die Punkte $S$ und $Q$ des Quadrates nicht au"serhalb des Rechtecks?
      Begr"unde.
\end{itemize}
\item Berechne $x$ so, dass das Quadrat $40\%$ der Rechtecksfl"ache bedeckt.
\end{enumerate}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item $x=3$:
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh057_l1.1}
      \end{center}
      \vspace{0.3cm}
\item In jedem Quadrat stehen die Diagonalen aufeinander senkrecht. Au"serdem sind sie gleich lang, und sie
      halbieren sich. Also gilt $\overline{PR}=\overline{SQ}=3\,\mathrm{cm}$.\\
      Fl"acheninhalt des Quadrates:
      $A_Q=\D\frac{1}{2}\cdot3^2\,\mathrm{cm^2}=4,5\,\mathrm{cm^2}$.\\
      
      Fl"acheninhalt des Rechtecks:
      $A_R=6\,\mathrm{cm}\cdot 3\,\mathrm{cm}=18\,\mathrm{cm^2}$.\\
      
      
      Fl"achenanteil: $\D\frac{A_Q}{A_R}= \D\frac{4,5\,\mathrm{cm^2}}{18\,\mathrm{cm^2}}=0,25=25\%$.
\end{itemize}
\item   
\begin{itemize}
\item $x=8$:
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh057_l2.1}
      \end{center}
      \vspace{0.3cm}
\item Es muss gelten: $\overline{SQ}=x\,\mathrm{cm}\LQ 6\,\mathrm{cm}$, also $x\LQ 6$. (Dann wird das Rechteck
      $ABCD$ selbst zum Quadrat.)
\end{itemize}

\item \mbox{}\\
      $\D\frac{A_Q}{A_R}=\D\frac{0,5\cdot x^2}{6x}=40\% = 0,4$ mit $x\in\RR^{+}$.\\
      
      $\quad\Leftrightarrow\quad\D\frac{0,5\cdot x}{6}=0,4\quad\Leftrightarrow\quad x = 4,8$.
\end{enumerate}
}

