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\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics[width=4.87cm]{09eh066_a1}
      \end{center}
Die Seitenl"ange des Quadrates $ABCD$ betr"agt $6\,\mathrm{m}$. Der Punkt $M$ halbiert die Seite $[AD]$.
Die Dreiecke $AEM$ und $BCE$ sind fl"achengleich.
\begin{enumerate}
\item Berechne den Fl"acheninhalt des Dreiecks $DMC$.
\item Begr"unde: Der Abstand des Punktes $E$ zur Seite $[AD]$ ist doppelt so gro"s wie der zur Seite $BC$.
\item Berechne den Fl"acheninhalt des Dreiecks $ABE$.
\end{enumerate}
Quelle: Bayerischer Mathematiktest 1998
}

\LSG{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics[width=4.87cm]{09eh066_l1}
      \end{center}
\begin{enumerate}
\item $A_{\Delta DMC}=0,5\cdot\overline{DC}\cdot\overline{DM}=0,5\cdot 6\,\mathrm{m}\cdot 3\,\mathrm{m}
      =9\,\mathrm{m^2}$
\item Zeichne zun"achst die beiden genannten Abst"ande ein. (Hier: $h_1$ und $h_2$)\\
      Den Fl"acheninhalt von Dreiecken berechnest du gew"ohnlich mit dem Term\\
      \centerline{$0,5\cdot Grundlinie \cdot H"ohe$}.
      W"ahle als Grundlinie in den beiden Dreiecken $AEM$ und $BCE$ die Strecken $[AM]$ bzw. $[CD]$. Es
      gilt hier $\overline{AM}=3\,\mathrm{m}$ und $\overline{BC}=6\,\mathrm{m}$.\\
      Weil die beiden Dreiecke den gleichen Fl"acheninhalt haben, muss zum Ausgleich die zugeh"orige
      H"ohe $h_1$ doppelt so gro"s wie die H"ohe $h_2$ sein:\\
      $h_1=4\,\mathrm{m}$ und $h_2=2\,\mathrm{m}$.
\item Zeichne zun"achst den Abstand $d$ des Punktes $E$ zur Seite $[BC]$ mit dem Fu"spunkt $F$ und die
      H"ohe $h$ des Dreiecks $ABE$ ein.\\
      Die beiden Dreiecke $MCD$ und $ECF$ sind zueinander "ahnlich:\\
      Die Strecke $[DF]$ ist doppelt so lang wie die Strecke $[FC]$. Das bedeutet:\\
      
      $\overline{FC}=\D\frac{1}{3}\cdot\overline{DC}$.\\
      
      Wegen der "Ahnlichkeit muss dieses Verh"altnis auch f"ur die beiden anderen Katheten der Dreiecke
      $MCD$ und $ECF$ gelten:\\
      
      $\overline{FD}=\D\frac{1}{3}\cdot\overline{DM}=1\,\mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad
      h=5\,\mathrm{m}$.\\
      
      $\Rightarrow\quad A_{ABE}=0,5\cdot6\,\mathrm{m}\cdot 5\,\mathrm{m}=15\,\mathrm{m^2}$
      
\end{enumerate}
}

