%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh068_a1.1}
      \end{center}
Das ist das Logo einer japanischen Firma, die Speichermedien herstellt. Im Zentrum befindet sich das
gleichseitige Dreieck $ADG$. Das Dreieck $PQR$ und die gestrichelten Strecken wurden zus"atzlich
eingezeichnet. Die L"ange der Quadratseite $\overline{BC}$ ist $a$.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $a=4\,\mathrm{cm}$.
\item Vergleiche den Fl"acheninhalt der beiden gleichseitigen Dreiecke $ADG$ und $PQR$ in Prozent.
\end{enumerate}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh068_l1.1}
      \end{center}\begin{itemize}
      \item Am besten beginnst du mit dem gleichseitigen Dreieck $ADG$ im Zentrum.  
      \item Errichte dann die drei Quadrate "uber den Seiten dieses Dreiecks $ADG$.
      \end{itemize}
\item Der Punkt M ist das Zentrum des Logos und gleichzeitig der Mittelpunkt des gleichseitigen
      Dreiecks $ADG$.\\
      Die Strecke $[MT]$ stellt ein Drittel der H"ohe $h$ dieses gleichseitigen
      Dreiecks dar:\\
      
      $\overline{MT}=\D\frac{1}{3}\cdot\D\frac{1}{2}\cdot a\sqrt 3=\D\frac{1}{6}\cdot a\sqrt 3$\\
      
      F"ur die Strecke $[MP]$ gilt: $\overline{MP}=\D\frac{1}{6}\cdot a\sqrt 3+\D\frac{1}{2}a
      =\D\frac{a}{6}(\sqrt 3+3)$.\\
      
      Die Strecke $[MP]$ stellt zwei Drittel der H"ohe $h^*$ des gleichseitigen Dreiecks $PQR$ dar:\\
      
      $\D\frac{2}{3}\cdot h^*=\D\frac{a}{6}(\sqrt 3+3)
      \quad\Rightarrow\quad h^*=\D\frac{a}{4}(\sqrt 3+3)$\\
      
      Nun gilt: $\D\frac{A_{ADG}}{A_{PQR}}=\left(\D\frac{h}{h^*}\right)^2=
      \left(\D\frac{\D\frac{a}{2}\sqrt 3}{\D\frac{a}{4}(\sqrt 3+3)}\right)^2\approx 0,5359=53,59\%$\\
      
      Das bedeutet: Das Dreieck $PQR$ besitzt knapp $54\%$ des Fl"acheninhaltes des Dreiecks
      $ADG$.
      
\end{enumerate}
}

