%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh069_a2.1}
      \end{center}
"Uber der Hypotenuse $[AC]$ des gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks $ABC$ liegt das Viereck
$ACDF$, das sich aus f"unf gleichseitigen Dreiecken mit der jeweiligen Seitenl"ange $a\,\mathrm{cm}$
zusammensetzt.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $a=3$.
\item Zeige: F"ur den Fl"acheninhalt $A_1$ des Vierecks $BHEG$ gilt in Abh"angigkeit von $a$:
      \begin{center}
       $A_1(a)=\D\frac{a^2}{4}\left(\sqrt 3+3\right)\,\mathrm{cm^2}$
      \end{center}
\item \begin{itemize}
            \item Begr"unde: Das Viereck $ABGF$ besitzt den gleichen Fl"acheninhalt wie das Viereck
	          $BHEG$.
	    \item Begr"unde: Das Viereck $BHEG$ bedeckt weniger als ein Drittel der Fl"ache des
	          F"unfecks $ABCDF$.
      \end{itemize}
\item Zeige: F"ur den Fl"acheninhalt $A_2$ des Vierecks $BHEG$ gilt in Abh"angigkeit von $a$:
      \begin{center}
       $A_2(a)=\D\frac{a^2}{4}\left(5\sqrt 3+9\right)\,\mathrm{cm^2}$
      \end{center}
\item Wie viel Prozent der Fl"ache des F"unfecks $ABCDF$ wird vom Viereck $BHEG$ eingenommen?
\end{enumerate}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh069_l2.1}
      \end{center}
\item Das Viereck $BHEG$ ist ein achsensymmetrischer Drachen, der sich aus den beiden Dreiecken $BHG$
      und $GHE$ zusammensetzt.\\
      Der THALES-Halbkreis mit dem Durchmesser $[AC]$ und dem Radius $r$ macht deutlich, dass 
      $\overline{AM}=\overline{MB}=1,5\,a\,\mathrm{cm}$ gilt.\\
      
      $A_1(a)=\left(\D\frac{1}{2}\cdot a\cdot 1,5\,a+\D\frac{a^2}{4}\sqrt 3\right)\,\mathrm{cm^2}
      =\left(\D\frac{3}{4}\,a^2+\D\frac{a^2}{4}\sqrt 3\right)\,\mathrm{cm^2}$\\
      $A_1(a)=\D\frac{a^2}{4}(\sqrt 3+3)\,\mathrm{cm^2}$
      
\item \begin{itemize}
      \item Die Dreiecke $AGF$ und $GHE$ sind kongruent, also fl"achengleich. Die beiden Dreiecke
            $ABG$ und $BHG$ haben gleich lange Grundlinien: $\overline{AG}=\overline{GH}$.\\
	    Der Kreisradius $r$ stellt stellt die gemeinsame H"ohe auf die beiden genannten
	    Grundlinien dar (im Dreieck $ABG$ liegt diese H"ohe au"serhalb). Also sind beide Dreiecke fl"achengleich. Damit sind auch beide Vierecke
	    fl"achengleich.
      \item Die beiden Vierecke $ABGF$ und $BCDH$ sind aus Symmetriegr"unden kongruent, also
            fl"achengleich. Daher sind im F"unfeck $ABCDF$ drei Vierecke von der Gr"o"se des Vierecks
	    $BHEG$ und zus"atzlich noch die beiden gleichseitigen Dreiecke $AGF$ und $HCD$
	    enthalten.\\
	    Also bedeckt das Viereck $BHEF$ weniger als ein Drittel der Fl"ache des F"unfecks $ABCDF$.
      \end{itemize}
\item $A_2(a)=\left(5\cdot\D\frac{a^2}{4}\sqrt 3+\D\frac{1}{2}\cdot 3a\cdot1,5a
      \right)\,\mathrm{cm^2}=\D\frac{a^2}{4}\left(5\sqrt 3+9\right)\,\mathrm{cm^2}$\\
\item $\D\frac{A_1(a)}{A_2(a)}=\D\frac{\D\frac{a^2}{4}(\sqrt 3+3)\,\mathrm{cm^2}}
      {\D\frac{a^2}{4}\left(5\sqrt 3+9\right)\,\mathrm{cm^2}}\approx 0,2679=26,79\%$\\
      
      Das Viereck $BHEG$ bedeckt also etwas mehr als $25\%$ der F"unfecksfl"ache.
\end{enumerate}
}

