%
\ANG
{
\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh094.1}
      \end{center}
In das gleichschenklige Dreieck $ABC$ mit der Setenl"ange $\overline{AB}=6\,\mathrm{cm}$ werden
Rechtecke $P_nQ_nR_nS_n$ mit $\overline{P_nQ_n}=x\,\mathrm{cm}$ so einbeschrieben, wie es die
Darstellung anhand des Beispielrechtecks $P_1Q_1R_1S_1$ f"ur $x=1,6$ zeigt.
\begin{enumerate}
\item F"ur welche Belegungen von $x$ gibt es solche Rechtecke $P_nQ_nR_nS_n$?
\item Zeige: F"ur den Fl"acheninhalt $A$ der Rechtecke $P_nQ_nR_nS_n$ gilt in Abh"angigkeit von
      $x$:\\
      \centerline{$A(x)=\D\frac{\sqrt 3}{4}\left(-2x^2+12x\right)\,\mathrm{cm^2}$}
\item Zeige: $\D\frac{A(x)}{A_{\Delta\,ABC}}=(-0,08x^2+0,4x)\,\mathrm{cm^2}$
\item Unter allen Rechtecken $P_nQ_nR_nS_n$ gibt die Rechtecke $P_2Q_2R_2S_2$ und $P_3Q_3R_3S_3$,
      die $32\%$ der Fl"ache des Dreiecks $ABC$ einnehmen.
      Berechne die zugeh"origen Belegungen von $x$.
\item Unter allen Rechtecken $P_nQ_nR_nS_n$ gibt es das Quadrat $P_0Q_0R_0S_0$.
      \begin{itemize}    
            \item Zeichne dieses Quadrat farbig ein.
	    \item Untersuche, ob das Quadrat $P_0Q_0R_0S_0$ unter allen m"oglichen Rechtecken
	          $P_nQ_nR_nS_n$ das fl"achengr"o"ste ist.\\
      \end{itemize}
\end{enumerate} 
}
  
\LSG{
\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh094_l.1}
      \end{center}
\begin{enumerate}
\item $x\in\,]\,0;\,6\,[\,_{\RR}$
\item In diesem Fall geht es auch ohne Vierstreckensatz:\\
      Die beiden rechtwinkligen Dreiecke $AP_nS_n$ und $Q_nBR_n$ lassen sich zu einem gleichseitigen
      Dreieck mit der Seitenl"ange $y=2\cdot(3-\frac{x}{2})\,\mathrm{cm}=(6-x)\,\mathrm{cm}$
      zusammenf"ugen.\\
      Dann gilt:
      \begin{eqnarray*}
      A_{P_nQ_nR_nS_n} & = & A_{\Delta\,ABC}-2\cdot A_{\Delta\,AP_nS_n}-A_{\Delta\,S_nR_nC}\\
                       & = & \left[\D\frac{6^2}{4}\sqrt 3-\D\frac{(6-x)^2}{4}\sqrt 3
	                     -\D\frac{x^2}{4}\sqrt 3\right]\,\mathrm{cm^2}\\
		       & = & \D\frac{\sqrt 3}{4}(36-36+12x-x^2-x^2)\,\mathrm{cm^2}\\
	          A(x) & = & \D\frac{\sqrt 3}{4}\left(-2x^2+12x\right)\,\mathrm{cm^2}      
      \end{eqnarray*}
\item $\D\frac{A(x)}{A_{\Delta\,ABC}}=\D\frac{\D\frac{\sqrt 3}{4}\cdot(-2x^2+12x)}
      {\D\frac{\sqrt 3}{4}\cdot 6^2}\,\mathrm{cm^2}=
      \D\frac{1}{18}(-x^2+6x)\,\mathrm{cm^2}$
\item Es gilt: $\D\frac{1}{18}(-x^2+6x)=32\%=0,32\quad\Leftrightarrow\quad-x^2+6x-5,76=0$\\
               $\Rightarrow\quad x_1=1,2$ und $x_2=4,8$
\item 
      \begin{itemize}    
            \item Siehe Zeichnung oben: Zeichne zun"achst ein Probequadrat, z.B. das Quadrat $ABDE$.\\
	          Weil alle Quadrate und damit alle halben Quadrate zueinander "ahnlich sind, muss z.B.
		  der gesuchte Punkt $S_0$ der Schnittpunkt der Strecken $[AC]$ und $[EO]$ sein. Die
		  Lage der restlichen gesuchten Punkte ist dann klar.
	    \item Die Dreiecke $ABC$ und $S_nR_nC$ sind zueinander "ahnlich. Also gilt:\\
	    
	          $\D\frac{\overline{AB}}{\overline{S_nR_n}}=
		   \D\frac{\overline{CO}}{\overline{CF}}\quad\Leftrightarrow\quad
		   \D\frac{6}{x}=\D\frac{3\sqrt 3}{3\sqrt 3-x}
		   \quad\Leftrightarrow\quad x=\D\frac{18\sqrt 3}{6+3\sqrt 3}=
		   12\sqrt 3-18$.\\
		   
		   Andererseits gilt nach (b): $A(x)=\D\frac{3\sqrt 3}{4}(-x^2+6x)\,\mathrm{cm^2}$.\\
		   
		   $A(x)=\left[-\D\frac{3\sqrt 3}{4}\cdot(x-3)^2+\D\frac{9}{4}\sqrt 3
		   \right]\,\mathrm{cm^2}$.\\
		   
		   Einerseits betr"agt die Seitenl"ange des Quadrates $P_0Q_0R_0S_0$\\
		   $(12\sqrt 3-18)\,\mathrm{cm}\approx 2,78\,\mathrm{cm}$.\\
		   Andererseits betr"agt die Seitenl"ange des maximalen Rechtecks $3\,\mathrm{cm}$.\\
		   Also ist das maximale Rechteck kein Quadrat.
      \end{itemize}
\end{enumerate} 
}
