%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh149_a1.1}
      \end{center}
Der Punkt $M$ halbiert die Hypotenuse $[BC]$ des gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks $ABC$\,.\\
Punkte $P_n$ mit $\overline{AP_n}=x\,\mathrm{cm}$ wandern auf der Kathete $[AC]$, so dass laufend Dreiecke $BMP_n$ erzeugt werden.
\begin{enumerate}
\item Zeichne das Dreieck $ABC$ f"ur $\overline{AB}=6\,\mathrm{cm}$ zusammen mit dem Dreieck $BMP_1$ f"ur $x=2$\,.
\item F"ur welche Belegungen von $x$ gibt es solche Dreiecke $BMP_n$\,?
\item Berechne den Fl"acheninhalt $A$ der Dreiecke $BMP_n$ in Abh"angigkeit von $x$\,.\\
Ergebnis: $A(x)=(9-1,5x)\,\mathrm{cm^2}$\,\\
Tipp: F"alle das Lot von $M$ auf $[AC]$\,.
\item Unter allen Dreiecken $BMP_n$ gibt es das Dreieck $BMP_2$, dessen Fl"acheninhalt $6,6\,\mathrm{cm^2}$ betr"agt.
Berechne die zugeh"orige Belegung von $x$.
\item Unter allen Dreiecken $BMP_n$ gibt es das gleichschenklige Dreieck $BMP_3$ mit der Basis $[MP_3]$\,.
Berechne die zugeh"orige Belegung von $x$. Runde dein Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma.
\item Unter allen Dreiecken $BMP_n$ gibt es das Dreieck $BMP_3$, dessen Fl"acheninhalt $20\%$ der Fl"ache des Dreiecks $ABC$ einnimmt. Berechne die zugeh"orige Belegung von $x$\,.
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh149_l1.1}
      \end{center}
\item F"ur $x=0$ ergibt sich das maximale Dreieck. F"ur $x=6$ entartet das betreffende Dreieck zur Doppelstrecke $[BC]$\,.\\
Also gibt es Dreiecke f"ur $x\in[0;\,6[\,_{\RR}$\,.
\item Eine m"ogliche Strategie: Berechne jeweils den Fl"acheninhalt der Dreiecke $ABP_n$ und $P_nMC$ in Abh"angigkeit von $x$. Subtrahiere die beiden Fl"acheninhalte dann vom Fl"acheninhalt des Dreiecks $ABC$\,.\\

$A_{\Delta\,ABC}=\D\frac{1}{2}\cdot6\,\mathrm{cm}\cdot6\,\mathrm{cm}=18\,\mathrm{cm^2}$\,.\\

$A_{\Delta\,ABP_n}=\D\frac{1}{2}\cdot6\,\mathrm{cm}\cdot x\,\mathrm{cm}=3x\,\mathrm{cm^2}$\,.\\

$A_{\Delta\,P_nMC}=\D\frac{1}{2}\cdot\overline{P_nC}\cdot\overline{F_nM}=\D\frac{1}{2}\cdot(6-x)\,\mathrm{cm}
\cdot3\,\mathrm{cm}=(9-1,5x)\,\mathrm{cm^2}$\,.\\

$A(x)=[18-3x-(9-1,5x)]\,\mathrm{cm^2}=(9-1,5x)\,\mathrm{cm^2}=A_{\Delta\,P_nMC}$\,.\\

Kommentar: Die Fl"acheninhalte der Dreiecke $BCP_n$ werden st"andig durch deren Seitenhalbierende $[P_nM]$ halbiert\,.
\item $9-1,5x=6,6\quad\Leftrightarrow\quad x=1,6$\,.
\item Es muss gelten: $\overline{CP_n}=\overline{CM}$\,.\\
$\overline{CP_n}=(6-x)\,\mathrm{cm}$\,.\\
Das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck $ABC$ ist ein halbes Quadrat mit der Diagonalenl"ange $\overline{BC}=6\sqrt2\,\mathrm{cm}\quad\Rightarrow\quad\overline{CM}=3\sqrt2\,\mathrm{cm}$\,.\\
Damit muss gelten: $6-x=3\sqrt2\quad\Leftrightarrow\quad x=6-3\sqrt2\approx1,76$\,.
\item $20\%=0,2$\,.\\
$(9-1,5x)\,\mathrm{cm^2}=0.2\cdot18\,\mathrm{cm^2}\quad\Leftrightarrow\quad9-1,5x=3,6\quad\Leftrightarrow\quad
x=3,6$\,.
\end{enumerate}
}




