%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh203_a.1}
      \end{center}
      Das Viereck $ABCD$ ist ein Quadrat. In dieses Quadrat ist das regelm"a"sige Achteck $PQRSTUV$ einbeschrieben
      worden.\\
 \begin{enumerate}
 \item Zeichne die Figur f"ur $\overline{AC}=6\,\mathrm{cm}$\,.
 \item Berechne den Umfang $u_8$ dieses regelm"a"sigen Achtecks $PQRSTUV$\,. Runde
dein Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma.
 \item Berechne den Anteil der Fl"ache, den das Achteck am der Fl"ache des Quadrates $ABCD$ einnimmt, in Prozent. Runde
dein Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma.
\end{enumerate}    
}

\LSG{
\begin{enumerate}
 \item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh203_l1.1}
      \end{center}
      Die Mittelpunktswinkel aller Teildreiecke dieses regelm"a"sigen Achtecks haben alle das gleiche Ma"s
$\varphi=360^\circ:8=22,5^\circ$\,.
Aus Symmetriegr"unden gilt dann $\psi=22,5^\circ:2=11,25^\circ$\,.\\
Damit entsteht die Figur so, wie sie in der Angabe dargestellt ist.
 \item Das Dreieck $MBC$ ist gleichschenklig-rechtwinklig, also ein halbes Quadrat.
 $\Rightarrow\quad\overline{BC}=3\sqrt2\,\mathrm{cm}$\,.\\
 Das Dreieck $QBR$ ist gleichschenklig-rechtwinklig, also ein halbes Quadrat. Es sei
 $\overline{RQ}=x\,\mathrm{cm}\,.\quad\Rightarrow\quad\overline{RB}=\frac{x}{\sqrt2}\,\mathrm{cm}
 =\overline{SC}$\,.\\
 $\Rightarrow\quad\overline{BC}=3\sqrt2\,\mathrm{cm}=\left.\left(2\cdot\frac{x}{\sqrt2}+x\right)\,\mathrm{cm}\quad
 \right|\,\,\cdot\frac{\sqrt2}{\mathrm{cm}}$\,.\\
 $\Leftrightarrow\quad 6=2x+x\sqrt2\quad\Leftrightarrow\quad x=\frac{6}{2+\sqrt2}\cdot\frac{2-\sqrt2}{2-\sqrt2}$\\
 $x=3(2-\sqrt{2})$\,.\hfill{\bf (*)}\\
 Dann ist $u_8=24(2-\sqrt{2})\,\mathrm{cm}\approx14,06\,\mathrm{cm}$\,.\\
  \item 
  Berechne zun"achst den Fl"acheninhalt eines Teildreiecks z.B. $\Delta\,MQR$\,:\\
  
  $A_{\Delta\,MQR}=\D\frac{1}{2}\cdot\overline{RQ}\cdot\overline{MF}$\, mit
$\overline{MF}=\overline{MB}-\overline{FB}$\,, wobei $\overline{MB}=3\,\mathrm{cm}$ gilt. \\

Weil das Dreieck $QBR$ gleichschenklig-rechtwinklig ist, gilt:\\

$\overline{FB}=\D\frac{1}{2}\cdot\overline{RQ}=\D\frac{1}{2}\cdot x\,\mathrm{cm}\quad\Rightarrow\quad
\overline{MF}=(3-\D\frac{1}{2}\cdot x)\,\mathrm{cm}$
\,.\\

$\Rightarrow\quad A_{\Delta\,MQR}=\D\frac{1}{2}\cdot x\,\mathrm{cm}\cdot\overline{MF}
=\D\frac{1}{2}\cdot x\cdot(3-\D\frac{1}{2}\cdot x)\,\mathrm{cm^2}$\,.\\

Mit {\bf (*)} aus der L"osung b) erhalten wir:\\

$\begin{array}{r c l}
  A_{\Delta\,MQR} & = &
\D\frac{1}{2}\cdot3(2-\sqrt{2})\cdot\left[3-\D\frac{1}{2}\cdot3\cdot(2-\sqrt{2})\right]\,\mathrm{cm^2}\\
  &&\\
                  & = & \D\frac{3(2-\sqrt{2})}{2}\cdot\left[3-3\cdot\D\frac{2-\sqrt{2}}{2}\right]\,\mathrm{cm^2}
                  =  \D\frac{6-3\sqrt{2}}{2}\cdot\D\frac{3\sqrt{2}}{2}\,\mathrm{cm^2}\\
 &&\\
  A_{\Delta\,MQR} & = & \D\frac{9}{2}\cdot(\sqrt{2}-1)\,\mathrm{cm^2}\\
  A_{PQRSTUVW}    & = & 8\cdot A_{\Delta\,MQR} =
8\cdot\D\frac{9}{2}\cdot(\sqrt{2}-1)\,\mathrm{cm^2}=36\cdot(\sqrt{2}-1)\,\mathrm{cm^2}\\
 &&\\
 A_{ABCD}         & = & \D\frac{1}{2}\cdot6\,\mathrm{cm}\cdot6\,\mathrm{cm}=18\,\mathrm{cm^2}\\
 &&\\
 \D\frac{A_{PQRSTUVW}}{A_{ABCD}} & = &  \D\frac{36\cdot(\sqrt{2}-1)\,\mathrm{cm^2}}{18\,\mathrm{cm^2}}=
 2\cdot(\sqrt{2}-1)\approx 0,8284=82,84\%\text{\quad .}
 \end{array}
$
\end{enumerate}
}
