%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh207_a1.1}
      \end{center}
      Das Viereck $ABCD$ ist eine Raute. Die Punkte $M_a$ und $M_c$ sind Seitenmittelpunkte\,.
 \begin{enumerate}
 \item Zeichne die Figur f"ur $\overline{AC}=8\,\mathrm{cm}$ und $\overline{BD}=5\,\mathrm{cm}$\,.
 \item Berechne den Fl"achenanteil des get"onten Dreiecks $AM_aG$ am Viereck $ABCD$ in Prozent.\\
\end{enumerate}    
}

\LSG{
\begin{enumerate}
 \item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh207_l1.1}
      \end{center}
 \item Den Fl"acheninhalt $A$ des Dreiecks  $AM_aG$ kannst du mit\\

$A_{\Delta\,AM_aG}=\D\frac{1}{2}\cdot\overline{M_aG}\cdot\overline{FA}$\,.\hfill{\bf (*)}

berechnen.\\

Nun ist $\overline{M_aG}=\overline{M_aF}+\overline{FG}$\,.\hfill{\bf (**)}\\

Es gilt offensichtlich $\overline{FA}=\D\frac{1}{2}\cdot\overline{AM}=\D\frac{1}{4}\cdot\overline{AC}$\,.\\

Analog gilt $\overline{M_aF}=\D\frac{1}{2}\cdot\overline{BM}=\D\frac{1}{4}\cdot\overline{BD}$\,.\\

Weiter machen dir die gestrichelten Hilfslinien anhand der "Ahnlichkeitss"atze Folgendes klar:\\

$\overline{AF}=\D\frac{1}{4}\cdot\overline{AC}$ \,und $\overline{AF}=\D\frac{1}{3}\cdot\overline{AE}$\\

Dann gilt: $\overline{FG}=\D\frac{1}{3}\cdot\overline{EM_c}=
\D\frac{1}{3}\cdot\overline{M_aF}=
\D\frac{1}{3}\cdot\D\frac{1}{4}\cdot\overline{BD}=\D\frac{1}{12}\cdot\overline{BD}$\,.\\ 

Mit {\bf (**)} ergibt sich dann
$
\overline{M_aG}=\D\frac{1}{4}\cdot\overline{BD}+\D\frac{1}{12}\cdot\overline{BD}=
\D\frac{1}{3}\cdot\overline{BD}
$\,.\\ 

Mit {\bf (*)} ergibt sich schlie"slich\\

$A_{\Delta\,AM_aG}=\D\frac{1}{2}\cdot\D\frac{1}{3}\cdot\overline{BD}\cdot\frac{1}{4}\cdot\overline{AC}
=\D\frac{1}{12}\cdot\D\frac{1}{2}\cdot\overline{BD}\cdot\overline{AC}
 $\,.\\

Mit $A_{ABCD}=\D\frac{1}{2}\cdot\overline{BD}\cdot\overline{AC}$ folgt:\\

$\D\frac{A_{\Delta\,AM_aG}}{A_{ABCD}}=
\D\frac{\D\frac{1}{12}\cdot\D\frac{1}{2}\cdot\overline{BD}\cdot\overline{AC}}
{\D\frac{1}{2}\cdot\overline{BD}\cdot\overline{AC}}=\D\frac{1}{12}=0,08\overline{3}=8,\overline{3}\%$\,.
\end{enumerate} 
}
