% 10. Klasse I und II ähnliche Dreiecke
% +09jk0011.eps + 09jk0012.eps
\ANG{\mbox{}
      \begin{center}
      \EPSBASIS{09jk0011}{4.5cm}{}
      \end{center}
In der obigen Figur ist $ABCD$ ein Quadrat mit der Seitenl"ange
$6\,\mathrm{cm}$. Es gilt: $\overline{AE}=\overline{EF}=\overline{FB}$.\\
Die Punkte $G$ und $H$ sind auf $[CD]$ beweglich und es gilt
$\overline{DH}=\overline{GC}= x\,\mathrm{cm}$.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $x=1,2$.
\item Der Abstand des Punktes $S$ von der Seite $[CD]$ sei $y\,\mathrm{cm}$.\\
      Zeige auf verschiedene Weise, dass f"ur $y$ gilt:
      $$y=\frac{6\cdot(3-x)}{(4-x)}\text{.}$$
      {\bf Hinweis f"ur eine M"oglichkeit: }Zeichne vom Punkt $G$ ausgehend eine
      Hilfslinie ein und betrachte "ahnliche Dreiecke. 
\item Berechne $x$ auf verschiedene Weise so, dass der Fl"acheninhalt des
      Dreiecks $HSG$ doppelt so gro"s wie der des Dreiecks $EFS$ wird.
\end{enumerate}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item --
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \EPSBASIS{09jk0012}{5cm}{}
      \end{center}
      Wenn $y$ zunimmt (abnimmt), dann wird $x$ gr"o"ser (kleiner).      
\item {\bf 1. M"oglichkeit} (mit der Hilfslinie $\overline{GT}$) :\\
      Wegen $\overline{EB}=4\,\mathrm{cm}$ folgt $\overline{ET}=(4-x)
      \,\mathrm{cm}$.\\
      $\Delta PSG \sim \Delta ETG$:
      $$\frac{\overline{PS}}{\overline{PG}}=
      \frac{\overline{GT}}{\overline{ET}}\quad\Rightarrow\quad \frac{y}{3-x}=
      \frac{6}{4-x}\mathrm{.}$$
      Damit ergibt sich der gew"unschte Ausdruck.\\
      {\bf 2. M"oglichkeit} (ohne die Hilfslinie $\overline{GT}$) :\\
      Es gilt: $\overline{QS}=(6-y)\,\mathrm{cm}$ und   
      $\Delta PSG \sim \Delta ETG$:
      $$\frac{\overline{SP}}{\overline{PG}}=
      \frac{\overline{QS}}{\overline{EQ}}\quad\Rightarrow\quad \frac{y}{3-x}=
      \frac{6-y}{1}\mathrm{.}$$
      $\Rightarrow\quad y = (3-x)(6-y) = 18-3y-6x+xy \quad\Leftrightarrow\quad
      y(x-4)=6x-18$, 
      woraus die obige Beziehung folgt.
      
\item {\bf 1. M"oglichkeit} (elegant):\\
      Es gilt $\Delta EFS \sim \Delta HSG$. Wenn das Dreieck $HSG$ doppelt so
      gro"s wie das Dreieck $EFS$ ist, dann muss f"ur die entsprechenden 
      Seitenl"angen der Streckungsfaktor den Wert $\sqrt 2$ besitzen.\\
      Es muss z.B. gelten:\\
      $\overline{HG}=\sqrt 2\cdot\overline{EF}$, also $6-2x=\sqrt 2\cdot2$.
      Damit ergibt sich $x=3-\sqrt 2\,\approx\,1,59$ .\\
      
      {\bf 2. M"oglichkeit} (aufw"andig):\\
      Es muss gelten: $A(HSG)=2\cdot A(EFS)$. Also: $\frac{1}{2} \cdot
      \overline{HG}\cdot\overline{PS}=2\cdot\frac{1}{2} \cdot
      \overline{EF}\cdot\overline{QS}$\\
      $(3-x)\cdot y= 2\cdot (6-y)\quad\Leftrightarrow\quad y=\frac{12}{5-x}$.\\ 
      Mit dem Ergebnis der Aufgabe (b) folgt dann
      $$\frac{6\cdot(3-x)}{(4-x)}=\frac{12}{5-x}$$
      Diese Bruchgleichung f"uhrt dann auf die quadratische Gleichung
      $$x^2-6x+7=0\quad \mathrm{mit}\quad \GG = ]0;3[_{\RR}
      \quad\Rightarrow\quad x_{1;2}=\frac{6\pm 2\sqrt 2}{2}=3\pm \sqrt 2\,\text
      {.}$$
      Das Pluszeichen entf"allt wegen $3+\sqrt 2 >3$ .
      
\end{enumerate}
}

%---------------------------------------------------------------------
%--------------------------------------















