
%
\ANG
{
Die Parabel $p$ mit Gleichung $p: y = -x^2-2x+3$ wird einer zentrischen Streckung am Zentrum
$Z(1\mid 3)$ mit dem Streckungsfaktor $k=-1,5$ unterworfen, so dass eine Bildparabel $p\,'$ entsteht. 
Ein Ausschnitt der Parabel $p$ ist mit ihrem Scheitel $S$ und dem Zentrum $Z$ im Koordinatensystem dargestellt.\\ 
Auf der Parabel $p$ wandern Punkte $C_n(x\mid -x^2-2x+3)$, die zusammen mit den Punkten $A(-3\mid 0)$
und $B(0\mid -1)$ Dreiecke $A_nB_nC_n$ erzeugen.
\begin{center}
\includegraphics{09eh021_a.1}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item \begin{itemize}
      \item Zeichne das Bild $p\,'$ der Parabel $p$ mit dem Scheitel $S\,'$ ein.
      \item Zeichne f"ur $x=-2,5$ das Dreieck $ABC_1$ ein.
      \end{itemize}
\item Berechne die Funktionsgleichung der Bildparabel $p\,'$.\\
      \centerline{[ Ergebnis: $y=\D\frac{2}{3}\cdot (x-4)^2+1,5\,] $}
\item Die Gerade $g$ mit der Gleichung $y=-2x+3$ ist eine Tangente an die Parabel $p$.\\
      Diese Tangente wird am Punkt $Z$ auf die gleiche Weise zentrisch gestreckt, wie vorher die Parabel
      $p$. Dadurch entsteht die Bildgerade $g\,'$.
      \begin{itemize}
      \item Zeichne die Geraden $g$ und $g\,'$ ein.
      \item Weise nach, dass die Gerade $g\,'$ eine Tangente an die Parabel $p\,'$ ist.
      \end{itemize}    
\item Das Dreieck $ABC_1$ hat einen Fl"acheninhalt von $2,875\,\mathrm{cm^2}$. Mit der gleichen
      zentrischen Streckung wird dieses Dreieck $ABC_1$ auf das Dreieck $A\,'B\,'C_1\,'$ abgebildet.
      \begin{itemize}
      \item Zeichne das Dreieck $A\,'B\,'C_1\,'$ ein.
      \item Berechne den Fl"acheninhalt des Dreiecks $A\,'B\,'C_1\,'$.
      \end{itemize}
\item Alle m"oglichen Dreiecke $ABC_n$ werden durch die vorliegende zentrische Streckung auf die Dreiecke
      $A\,'B\,'C_n\,'$ abgebildet. Der Fl"acheninhalt $A_{\Delta}'$ der Dreiecke $A\,'B\,'C_n\,'$ l"asst sich 
      in Abh"angigkeit vom Abszissenwert $x$ der Punkte $C_n$ auf die folgende Weise darstellen:\\
      \centerline{$A_{\Delta}'(x) = (-3,375x^2-5,625x+13,5)\,\mathrm{cm^2}$}
      Zeige: F"ur den Fl"acheninhalt $A_{\Delta}(x)$ der Dreiecke $ABC_n$ gilt in 
      Abh"angigkeit von $x$:\\
      \centerline{$A_{\Delta}(x) = (-1,5x^2-2,5x+6)\,\mathrm{cm^2}$}
\item Begr"unde: Unter allen Bilddreiecken $A\,'B\,'C_n\,'$ ist das Dreieck $A\,'B\,'S\,'$ nicht das
      fl"achengr"o"ste.
\end{enumerate}}

\LSG{
\begin{enumerate}
      \item Siehe Zeichnung.
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh021_l.1}
      \end{center}
\item \begin{itemize}
      \item Siehe Zeichnung.
      \item Zun"achst ergibt sich $S(-1\mid 4)$. Weiter sei $S\,'(x_{S}\,'\mid (y_{S}\,')$.\\
            Aus $\overrightarrow{ZS\,'}=k\cdot\overrightarrow{ZS}$ folgt:\quad
	    $\begin{pmatrix}
	    x_S\,' & -1 \\
	    y_S\,' & -3
	    \end{pmatrix}
	    = -1,5\cdot
	    \begin{pmatrix}
	    -1 & -1 \\
	    4 & -3
	    \end{pmatrix}$\\
	    Daraus ergibt sich:
	    \begin{tabular}{r c c r c l}
	             & $x_S\,'-1$ & = & 3      & $\Rightarrow$ & $x_S\,' = 4$\\
	    $\wedge$ & $y_S\,'-3$ & = & $-1.5$ & $\Rightarrow$ & $y_S\,' = 1,5$    
	    \end{tabular}
	    
	    Also: $S\,'(4\mid 1,5)$.\\
	    Die unvollst"andige Gleichung der Bildparabel $p\,'$ lautet daher:\\
	    $p\,': y = a(x-4)^2+1,5$\\
	    Du siehst nun: $T(0\mid 3)\in p\,'$. Als Begr"undung daf"ur kannst du z.B. die "`F"unf-Punkte-Regel"' f"ur
	    die Zeichnung einer Normalparabel bei bekannten Scheitelkoordinaten heranziehen.
	    Dann erh"altst du (mit $k=-1,5$) durch Abz"ahlen der K"astchen: $T\,'(2,5\mid 3)$.\\
	    $T\,'(2,5\mid 3)$ in die Gleichung von $p\,'$: $3 = a(2,5-4)^2+1,5\quad\Rightarrow\quad a=\D\frac{2}{3}$\\
	    Somit ist das Ergebnis in der Aufgabe (b) best"atigt.\\
	    {\bf Anmerkung:} \\
	    Der Wert des Formfaktors $a\,'$ der Bildparabel $p\,'$ l"asst sich auch allgemein herleiten.\\
	    Gehe von einer Parabel $p_0$ aus, deren Scheitel im Ursprung liegt.\\
	    $p_0: y = ax^2$ mit $a\neq 0$. Ein beliebiger Punkt $P_0(x_0\mid ax_0^2)\in p$ 
	    wird einer zentrischen Streckung mit dem Zentrum $O=(0\mid 0)$ und dem Streckungsfaktor $k\neq 0$ 
	    unterworfen.
	    Sein Bildpunkt sei $P_0\,'(x\,'\mid y\,')$.\\
	    Dann gilt $\overrightarrow{OP_0\,'}=k\cdot\overrightarrow{OP_0}$ :\\
	    
	    $\begin{pmatrix}
	    x_0\,' \\
	    a\,'x_0\,'\,^2
	    \end{pmatrix}
	    = k\cdot
	    \begin{pmatrix}
	    x \\
	    ax^2
	    \end{pmatrix}$
	    $\quad\Rightarrow\quad$
	    \begin{tabular}{r l c l r}
	             & $x_0\,'$          & = & $k\cdot x$   & (1)\\
	    $\wedge$ & $a\,'x_0\,'\,^2$ & = & $k\cdot ax^2$ & (2)\\
	    \end{tabular}\\
	    Aus (1): $x=\D\frac{x_0\,'}{k}\quad$ in (2): $\quad a\,'x_0\,'\,^2 = 
	    k\cdot a\cdot\D\frac{x_0\,'\,^2}{k^2}$\\
	    
	    Damit ergibt sich:
	    \begin{center}
	    \framebox[1.2\width]{\parbox{0.1\textwidth}{\centerline{$a\,'=\D\frac{a}{k}$}}}
	    \end{center}
	    \vspace{0,2cm}
	    Diese Beziehung zwischen den entsprechenden Formfaktoren gilt f"ur alle m"oglichen zentrischen 
	    Streckungen von Parabeln.
      \end{itemize}
      
\item \begin{itemize}
      \item Siehe Zeichnung.
      \item Die Gerade $g\,'$ muss zur Geraden $g$ parallel liegen, denn jede zentrische Streckung ist winkeltreu.\\
            $g\,': y = -2x + t\,'$ und $T\,'(2,5\mid3)\in g\,': 3=-2\cdot 2,5+t\,'$\\
	    $\Rightarrow\quad t\,'=8$ und $g\,': y = -2x + 8$\\
	    $p\,'\cap g\,': \D\frac{2}{3}\cdot (x-4)^2+1,5 =-2x + 8\quad \mid\cdot\, 3$\\
	    $\ldots\Leftrightarrow\quad 2x^2+10x+12,5=0\quad\Rightarrow\quad D^*=100-8\cdot 12,5 =0$\\
	    Also ist die Gerade $g\,'$ eine Tangente an die Parabel $p\,'$.\\
	    Allgemein gilt: Jede zentrische Streckung ist {\bf "`tangententreu"'}.
      \end{itemize}
\item \begin{itemize}
      \item Siehe Zeichnung.
      \item F"ur die Inhalte $A$ von allen m"oglichen Fl"achen gilt bei deren zentrischen Streckung 
            mit dem Streckungsfaktor $k$:
            $A\,'=k^2\cdot A$, wobei $A\,'$ der Inhalt der Bildfl"ache ist.
	    Hier gilt: $k=-1,5$ und $A=2,875\,\mathrm{cm^2}$.\\
	    Also folgt $A\,'=(-1,5)^2\cdot 2,875\,\mathrm{cm^2}=
	    6,46875\,\mathrm{cm^2}$. 
      \end{itemize}
\item $A_{\Delta}'(x)=k^2\cdot A_{\Delta}(x)$\\
      Also gilt hier: $(-3,375x^2-5,625x+13,5)\,\mathrm{cm^2}=(-1,5)^2\cdot A_{\Delta}(x)\,\mid\, :2.25$\\
      $\Rightarrow\quad A_{\Delta}(x)=(-1,5x^2-2,5x+6)\,\mathrm{cm^2}$\\
      {\bf Anmerkung:} Nat"urlich kannst du den Fl"acheninhalt $A_{\Delta}(x)$ auch direkt "uber die
      Fl"achendeterminante berechnen. Offensichtlich w"are dieser Weg aber weiter.
\item 1. M"oglichkeit: Durch eine Extremwertberechnung (Vorsicht!)
      \begin{align*}
      A_{\Delta}(x) &=(-3,375x^2-5,625x+13,5)\,\mathrm{cm^2}\\
                    &=-3,375(x^2+\D\frac{5}{3}x-4)\,\mathrm{cm^2}\\
		    &=-3,375\left[x^2+\D\frac{5}{3}x+\left(\D\frac{5}{6}\right)^2-\D\frac{25}{36}-4
		       \right]\,\mathrm{cm^2}\\
      		    &=-3,375\left[\left(x+\D\frac{5}{6}\right)^2-\D\frac{169}{36}\right]\,\mathrm{cm^2}\\
      A_{\Delta}(x) &=\left[-3,375\left(x+\D\frac{5}{6}\right)^2+15,84375\right]\,\mathrm{cm^2}   
      \end{align*}
      Jetzt w"are es fatal, einfach zu antworten: "`$x=-\D\frac{5}{6}$ liefert $\ldots$ "', denn dieses
      Rechenergebnis deckt sich zun"achst nicht mit den Gegebenheiten in der Zeichnung!
      Warum? Nun, die Variable $x$ ist als
      {\underline{Abszissenwert der Punkte $C_n$}} festgelegt worden! Das bedeutet, dass dieser
      Abszissenwert zur Parabel $p$ und nicht zur Parabel $p'$ geh"ort.\\
      Dieser $x$-Wert muss also erst noch der zentrischen Streckung unterworfen werden:\\
      $x'= -\left(\D\frac{5}{6}+1\right)\cdot (-1,5)=2,75$. Wegen $Z(1\mid\ldots)$ muss noch 1 addiert
      werden. Also betr"agt der Abszissenwert des gesuchten Punktes unter den Punkten $C_n$, der den
      maximalen Fl"acheninhalt liefert: 3,75.\\
      Aber der Punkt $S\,'$ besitzt den Abszissenwert 4.
      Daher kann $S\,'$ nicht der gesuchte Punkt sein.\\
      2. M"oglichkeit: anschaulich\\
      Unter allen Punkten auf der Parabel $p\,'$ m"usste der Punkt $S\,'$ den gr"o"sten Abstand von 
      der Grundlinie $[A\,'B\,']$ besitzen.\\
      Andererseits muss der Punkt, der den gr"o"sten Fl"acheninhalt liefern soll (nenne ihn z.B.  $C\,^*\,'$),
      auf der Tangente an die
      Parabel $p\,'$ liegen, die zur Grundlinie $[A\,'B\,']$ parallel verl"auft. Die Tangente an die
      Parabel $p\,'$ durch den Punkt $S\,'$ verl"auft aber im Gegensatz zur Strecke $[A\,'B\,']$ waagrecht. 
      Also kann der
      Punkt $S\,'$ nicht der "`richtige"' Punkt sein. Der Punkt $C\,^*\,'$, der den gr"o"sten Fl"acheninhalt liefert,
      liegt etwas links oberhalb des Punktes $S\,'$.\\
\end{enumerate}
}              

