
%
\ANG
{An das Quadrat $ABCD$ ist das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck $DCS$ angef"ugt worden.\\
Der Punkt $D$ ist der Mittelpunkt des Kreisbogens $k$ durch den Quadratmittelpunkt $M$. Dadurch entsteht der
achsensymmetrische Drachen $PQRS$.
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh024_a.1}
      \end{center}
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $\overline{AB}= 4\,\mathrm{cm}$.
\item F"ur die L"ange der Seite $[AB]$ soll jetzt gelten: $\overline{AB}=2a$.\\
      Berechne damit den Anteil des Fl"acheninhalts der Drachenfigur $PQRS$ an der Gesamtfl"ache der 
      Figur $ABCSD$ als Bruch und in Prozent.
\item Welchen Fl"acheninhalt h"atte das Quadrat $ABCD$, wenn die Dreiecksseite $[DS]$ 
      $14,5\,\mathrm{cm}$ lang w"are?
\item Es sieht so aus, als ob der Kreisbogen $k$ durch den Schnittpunkt der Strecke $[SR]$ mit der Strecke $[TC]$
      verlaufen w"urde. Tr"ugt der Anschein? Rechne wieder mit $\overline{AB}=2a$.
\end{enumerate}

}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh024_l1.1}
      \end{center}
\item Es gilt: $\overline{DC}=2a$ und $\overline{TS}=a$ (Das ist die Dreiecksh"ohe.)\\
      $A_{ABCSD} = A_{ABCD}+A_{DCS}=(2a)^2+\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot a = 5a^2$\\
      $A_{PQRS} = \overline{QS}\cdot\overline{PR}= \frac{1}{2}\cdot
      (2a+a)\cdot 2a = 3a^2$\\
      $\D\frac{A_{PQRS}}{A_{ABCSD}} = \D\frac{3a^2}{5a^2}=\D\frac{3}{5}= 0,6 = 60\%$\\
\item Das Dreieck $DCS$ ist ein halbes Quadrat, dessen Seite jetzt $14,5\,\mathrm{cm}$ lang w"are.
      Also w"urde gelten:
      $A_{DCS} = \frac{1}{2}\cdot 14,5^2\,\mathrm{cm^2}=105,125\,\mathrm{cm^2}$.\\
      Mit Hilfe der gestrichelten Linien erkennst du: Das Quadrat $ABCD$ ist in vier kongruente Dreiecke
      zerlegt worden, die zum  Dreieck $DCS$ kongruent sind.\\
      Das Quadrat $ABCD$ h"atte also einen Fl"acheninhalt von $4\cdot 105,125\,\mathrm{cm^2} = 
      420,5 \,\mathrm{cm^2}$.
\item Es sei $K$ der Schnittpunkt der Strecke $[SR]$ mit der Strecke $[TC]$.\\
      Es gilt dann: $\overline{KC}=\overline{DC}-\overline{DK} = 2a-a\sqrt 2=a(2-\sqrt 2)$\\
      Weiter gilt: $\overline{TK}=a\sqrt 2-a=a(\sqrt 2-1)$\\
      Dann gilt f"ur Das Teilverh"altnis\\
      
      $\D\frac{\overline{KC}}{\overline{TK}}= \D\frac{a(2-\sqrt 2)}{a(\sqrt 2-1)} =
      \D\frac{2-\sqrt 2}{\sqrt 2-1}=\D\frac{\sqrt 2\,^2-\sqrt 2}{\sqrt 2-1}=
      \D\frac{\sqrt 2\cdot (\sqrt 2 - 1)}{1\cdot(\sqrt 2-1)}=\sqrt 2$\\
      
      Nat"urlich k"amst du mit $\D\frac{2-\sqrt 2}{\sqrt 2-1}=\D\frac{2-\sqrt 2}{\sqrt 2-1}
      \cdot \D\frac{\sqrt 2 + 1}{\sqrt 2+1}$
      zum selben Resultat.\\
      
      Es sei $L$ der Schnittpunkt des Kreisbogens $k$ mit der Strecke $[TC]$. Zwar liegen die Punkte $K$ und 
      $L$ in der Zeichnung aufeinander, aber ist das auch tats"achlich so?\\
      Die Dreiecke $LRC$ und $TLS$ sind beide rechtwinklig und sie besitzen im Punkt $L$ ma"sgleiche
      Scheitelwinkel. Also sind die beiden Dreiecke zueinander "ahnlich und du kannst den Vierstreckensatz
      anwenden:\\
      
      $\D\frac{\overline{LC}}{\overline{TL}}=\D\frac{\overline{RC}}{\overline{TS}}=
       \D\frac{\overline{DP}}{\overline{TS}}=\D\frac{a\sqrt 2}{a}=\sqrt 2$\\
       
      Also teilt der Punkt $L$ die Strecke $[TC]$ im gleichen Verh"altnis wie der Punkt $K$. Dann m"ussen aber die
      beiden Punkte $K$ und $L$ aufeinander liegen; d.h. der Kreisbogen $k$ verl"auft tats"achlich 
      durch den Schnittpunkt der Strecke $[SR]$ mit der Strecke $[TC]$.
      
      
\end{enumerate}
}              

