
\ANG{
 Die Parabel $p$ mit der Gleichung $y=2,5x^2$ wird durch zentrische Streckung am 
 Zentrum $Z$ mit dem Streckungsfaktor $k$ auf die Parabel $p'$ mit der Gleichung
 $y=-0,5x^2$ abgebildet.
\begin{enumerate}
\item Begr"unde: $Z$ kann nur im Koordinatenursprung liegen.
\item Berechne k.
\end{enumerate}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item Ur- und Bildparabel besitzen die gleiche Symmetrieachse, n"amlich die $y$-Achse. Dort muss
      sich das Streckungszentrum $Z$ aufhalten.\\
      Wie bei jeder zentrischen Steckung ist $Z$ der einzige Fixpunkt. Dieser Punkt muss also
      auf beiden Parabeln liegen.Der einzige Punkt, den beide Parabeln gemeinsam haben, 
      ist der Scheitel im Ursprung. Also liegt das Streckungszentrum $Z$ im Ursprung.   
\item Du k"onntest jetzt die Bildkoordinaten eines konkreten Punktes auf der Urparabel (z.B.
      $(1\mid 2,5)$) abbilden und dessen Bildkoordinaten in die Gleichung der Bildparabel
      einsetzen.\\ 
      Wir leiten gleich eine allgemeine Beziehung her, die du f"ur analoge F"alle "ubernehmen
      kannst:
      \begin{center}
      $P(x\mid a\cdot x^2)\,\stackrel{Z;\,\,k}{\hbox to 60 pt{\rightarrowfill}}
      \,P\,'(x\,'\mid y\,')$
      \end{center}
      Mit $\overrightarrow{ZP\,'}=k\cdot\overrightarrow{ZP}$ und $k\neq 0$ folgt:\\
      $${x\,'-0\choose y\,'-0}=k\cdot{x-0\choose a\cdot x^2-0}$$
      \begin{tabular}{c c c c r}
      $x\,'$ & = & $k\cdot x$ & $(1)$ & $\quad\Leftrightarrow\quad x = \D\frac{x\,'}{k}
      \quad (1')$\\
      $y\,'$ & = & $k\cdot ax^2$ & $(2)$ &\\
      \hline
      \end{tabular}\\
      
      $(1')$ in $(2)$: $y\,'=k\cdot a\cdot \D\frac{x\,'\,^2}{k^2}
      \quad\Leftrightarrow\quad y\,'=\D\frac{a}{k}\cdot x\,'\,^2$\\
      
      Somit ergibt sich f"ur den Formfaktor $a\,'$ der Bildparabel $p\,'$:\\
      \begin{center}
      \framebox[1.2\width]{\parbox{0.1\textwidth}{\centerline{$a\,'=\D\frac{a}{k}$}}}
      \end{center}
      $\Leftrightarrow\quad k=\D\frac{a}{a\,'}$\quad also\,:\quad $k=\D\frac{2,5}{-0,5}=-5$
\end{enumerate}
}

%---------------------------------------------------------------------
%--------------------------------------















