%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh075_a1.1}
      \end{center}
In das rechtwinklige Dreieck $ABC$ ist das Quadrat $PQRS$ mit der Seitenl"ange $x\,\mathrm{cm}$
einbeschrieben.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $\overline{BC}=a=6\,\mathrm{cm}$ und $\overline{AC}=b=8\,\mathrm{cm}$.
\item Begr"unde: Die Dreiecke $FBC$ und $ABC$ sind zueinander "ahnlich.
\item Zeige: F"ur die Dreiecksh"ohe $h$ gilt:
      \begin{center}
      $h=\D\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\,\,\mathrm{cm}.$
      \end{center}
\item Begr"unde: Die Dreiecke $SRC$ und $ABC$ sind zueinander "ahnlich.
\item Zeige:
      \begin{center}
      $x=\D\frac{ab\sqrt{a^2+b^2}}{a^2+ab+b^2}$.
      \end{center}
\item \begin{itemize}
      \item Berechne mit Hilfe des Ergebnisses der Aufgabe (e) den prozentualen Anteil
            der Fl"ache des Quadrates $PQRS$ an der Fl"ache
            des Dreiecks $ABC$ f"ur den Fall, dass das Dreieck $ABC$ gleichschenklig-rechtwinklig
	    ist.
      \item Begr"unde dein Ergebnis elementargeometrisch mit Hilfe einer entsprechenden Zeichnung.	    
      \end{itemize}
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh075_l1.1}
      \end{center}
      Zeichne z.B. das Probequadrat $QHKC$ mit der Seitenl"ange $h[=4,8\,\mathrm{cm}]$.\\ 
      $[AK]\cap[BC]=\{R\}$. Zeichne dann das Quadrat mit der Seite $[RQ]$ fertig.
\item Aus der Zeichnung in (a) ist ersichtlich, dass beide Dreiecke rechtwinklig sind. Au"serdem
      taucht in beiden Dreiecken der Winkel mit dem Ma"s $\beta$ auf. Also stimmen
      die beiden Dreiecke sogar in allen drei Innenwinkeln "uberein. Also sind sie zueinander
      "ahnlich.
\item Wegen $\Delta FBC\sim\Delta ABC$ gilt:\\
      
      $\D\frac{\overline{CF}}{\overline{BC}}=\D\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}
      \quad\Leftrightarrow\quad\D\frac{h}{a}=\D\frac{b}{c}$\\
      
      $\Leftrightarrow\quad h=\D\frac{ab}{c}$.\quad Mit $c=\sqrt{a^2+b^2}\,\mathrm{cm}$
      folgt die Behauptung.\\
      
      F"ur $a=6\,\mathrm{cm}$ und $b=8\,\mathrm{cm}$ ergibt sich $h=4,8\,\mathrm{cm}$. 
\item In beiden Dreiecken tauchen Stufenwinkel mit dem Ma"s $\beta$ auf.
      Also sind die beiden Dreiecke zueinander "ahnlich.\\
\item Wegen $\Delta SRC\sim\Delta ABC$ verhalten sich die L"angen der Hypotenusen wie die entsprechenden
      H"ohen in beiden Dreiecken:\\
      
      $\Rightarrow\quad\D\frac{x}{c}=\D\frac{h-x}{h}\quad\Leftrightarrow\quad x=\D\frac{hc}{h+c}$\\
      
      Mit $h=\D\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\,\,\mathrm{cm}$ und $c=\sqrt{a^2+b^2}\,\mathrm{cm}$
      ergibt sich:\\
      
      $x=\D\frac{ab}{\D\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}+\sqrt{a^2+b^2}}$.\\
      
      Erweitert man den Bruch mit $\sqrt{a^2+b^2}$, so ergibt sich die Behauptung.\\
\item \begin{itemize}
      \item In diesem Fall gilt $b=a$.      
      $\Rightarrow\quad x=\D\frac{a^3\sqrt{2}}{3a^2}=\D\frac{a\sqrt{2}}{3}$\\
      
      $\Rightarrow\quad \D\frac{A_{PQRS}}{A_{\Delta ABC}}=\D\frac{x^2}{\D\frac{1}{2}a^2}=
      \D\frac{\D\frac{a^2\cdot 2}{3\,^2}}{\D\frac{1}{2}a^2}=\D\frac{4}{9}=0,\overline{4}=
      44,\overline{4}\%$\\
      \item \mbox{}  
            \begin{center}
                  \includegraphics{09eh075_l2.1}
            \end{center}
	    Das Dreieck $ABC$ l"asst sich in neun kongruente gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck
	    zerlegen. Vier davon nimmt das einbeschriebene Quadrat ein. Also betr"agt der Fl"achennateil
	    dieses Quadrates am Dreieck $ABC$
	    
	    $\D\frac{4}{9}=0,\overline{4}=44,\overline{4}\%$
      \end{itemize}
\end{enumerate}
}

