%
\ANG
{
\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh105.1}
      \end{center}
Der Hypotenusenmittelpunkt des rechtwinkligen Dreiecks $ABC$ ist der Punkt $M$.\\
In der Figur gilt weiter: $\overline{AB}=7,2\,\mathrm{cm}$ und $\overline{AC}=5,4\,\mathrm{cm}$.
\begin{enumerate}
\item Begr"unde: Die beiden Dreiecke $SBM$ und $ABC$ sind zueinander "ahnlich.
\item Zeige: $\overline{MS}=3,375\,\mathrm{cm}$.
\item Berechne den Anteil der Fl"ache des Vierecks $ASMC$ am Dreieck $ABC$ in Prozent.
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh105_l1.1}
      \end{center}
      In beiden Dreiecken $ABC$ und $SBM$ kommt der Innenwinkel mit dem Ma"s $\beta$ vor.\\
      Zudem sind beide Dreiecke rechtwinklig. Also m"ussen beide Dreiecke auch im Ma"s des dritten
      Innenwinkels "ubereinstimmen; also gilt $\Delta\,SBM\sim\Delta\,ABC$.
\item Wir rechnen nur mit Ma"szahlen.\\
      PYTHAGORAS im Dreieck $ABC$: $\overline{BC}^2=7,2^2+5,4^2\quad\Rightarrow\quad\overline{BC}
      = 9\,\mathrm{cm}\\
      \Rightarrow\quad\overline{BM}=4,5\,\mathrm{cm}$.\\
      
      Vierstreckensatz:
      $\D\frac{\overline{MS}}{\overline{MB}}=\D\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}$\,\,:\quad
      $\D\frac{x}{4,5}= \D\frac{5,4}{7,2}\quad\Leftrightarrow\quad x=3,375$.\\
      
\item Berechne den "Ahnlichkeitsfaktor: Z.B. $k=\D\frac{\overline{BM}}{\overline{AB}}
      =\D\frac{4,5}{7,2}=0,625$.\\
      
      Dann gilt $\D\frac{A_{\Delta\,SBM}}{A_{\Delta\,ABC}}=k^2=0,625^2=0,390625$.\\
      
      Das bedeutet: Das Dreieck $SBM$ nimmt $39,0625\%$ der Fl"ache des Dreiecks $ABC$ ein.\\
      Dann nimmt das Viereck $ASMC$ $100\%-39,0625\%=60,9375\%$ der Fl"ache des Dreiecks $ABC$ ein.
      
\end{enumerate}

}
