%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh137_a1.1}
      \end{center}
Im Dreieck $ABC$ mit der H"ohe $[CF]$ sind die Punkte $M_a$ und $M_b$ die Mittelpunkte der Umkreise der Teildreiecke $FBC$ bzw. $AFC$\,.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $\overline{AB}=8\,\mathrm{cm}$, $\alpha=65^\circ$ und $\beta=40^\circ$\,.
\item Begr"unde auf verschiedene Weise: Das Viereck $FM_aCM_b$ ist ein achsensymmetrischer Drachen.
\item Begr"unde: Zusammen bedecken die beiden Dreiecke $AFM_b$ und $FBM_a$ die H"alfte des Dreiecks $ABC$\,.
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh137_l1.1}
      \end{center}
\item {\bf 1. M"oglichkeit:}\\
Im Kreis $k_1$ gilt: $\overline{M_bA}=\overline{M_bF}=\overline{M_bC}$\,.\\
Im Kreis $k_2$ gilt: $\overline{M_aB}=\overline{M_aF}=\overline{M_aC}$\,.\\
Also sind im Viereck $FM_aCM_b$ zweimal zwei benachbarte Seiten gleich lang. Also handelt es sich um ein achsensymmetrisches Drachenviereck.\\
{\bf 2. M"oglichkeit:}\\
In jedem rechtwinkligen Dreieck f"allt dessen Umkreismittelpunkt mit dem Hypotenusenmittelpunkt zusammen. Also sind die Kreismittelpunkte $M_a$ und $M_b$ gleichzeitig die Mittelpunkte der Seiten $a=[BC]$ bzw. $b=[AC]$.\\
Die Dreiecke $FBC$ und $F_aBM_a$ sind zueinander "ahnlich.\\
Wegen $\overline{BC}=2\cdot\overline{BM_a}$ folgt dann $\overline{FC}=2\cdot\overline{F_aM_a}=2\cdot\overline{F_bM_b}$\,.\\
Also gilt: $h_1=h_2=\overline{SF}=\overline{FC}$\,. Daher liegt die Gerade $M_aM_b$ zur Grundlinie $[AB]$ des Dreiecks $ABC$ parallel. Diese Parallele steht damit auf der Diagonalen des Vierecks $FM_aCM_b$ senkrecht. Gleichzeitig halbiert der Punkt $S$ die H"ohe $[CF]$ des Dreiecks $ABC$. Also ist das Viereck $FM_aCM_b$ ein achsensymmetrischer Drachen.
\item Die in der 2. M"oglichkeit verwendete Argumentation ergibt nun Folgendes:
\begin{itemize}
\item Die vier Dreiecke $F_aBM_a$, $FF_aM_a$, $FM_aS$ und $SM_aC$ sind kongruent. Das Dreieck $FBM_a$ besteht aus zwei dieser kongruenten Dreiecke.\\
Also ist das Dreieck $FBM_a$ halb so gro"s wie das Teildreieck $FBC$\,.
\item Die vier Dreiecke $AF_bM_b$, $F_bFM_b$, $FSM_b$ und $M_bSC$ sind kongruent. Das Dreieck $AFM_b$ besteht aus zwei dieser kongruenten Dreiecke.\\
Also ist das Dreieck $AFM_b$ halb so gro"s wie das Teildreieck $AFC$\,.
\end{itemize}
Also sind die beiden Dreiecke $AFM_b$ und $FBM_a$ zusammen halb so gro"s wie das Dreieck $ABC$\,.\\

{\bf Oder:}\\
Weil der Schnittpunkt $S$ auf halber H"ohe im Dreieck $ABC$ liegt, gilt:\\
 $A_{\Delta\,M_bM_aC}=\frac{1}{4}\cdot
A_{\Delta\,ABC}$ (zentrische Streckung mit $k=\frac{1}{2})$\,.\\
Das Viereck $FM_aCM_b$ ist ein achsensymmetrischer Drachen mit der Diagonalen $[M_aM_b]$ als Symmetrieachse.\\
$\Rightarrow\quad A_{FM_aCM_b}=2\cdot\frac{1}{4}A_{\Delta\,ABC}=\frac{1}{2}\cdot A_{\Delta\,ABC}$\,.\\
Dann muss der Rest, n"amlich derjenige, der aus den beiden Dreiecken $AFM_b$ und $FBM_a$ besteht, ebenfalls die H"alfte des Dreiecks $ABC$ einnehmen.
\end{enumerate}
}
