%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh144_a1.1}
      \end{center}
Das Viereck $ABCD$ ist ein Quadrat. Die Mittelpunkte der beiden Kreisb"ogen sind die Punkte $B$ und $D$\,.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $\overline{AB}=6\,\mathrm{cm}$\,.
\item Begr"unde: Das Viereck $PQRS$ ist ein Rechteck.
\item Wie viel Prozent des Fl"acheninhaltes des Quadrates $ABCD$ nimmt das Viereck $PQRS$ ein? Runde Dein Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma.
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh144_l1.1}
      \end{center}
\item Die beiden Dreiecke $PBQ$ und $SRD$ sind gleichschenklig-rechtwinklig. Also haben ihre spitzen Innenwinkel das Ma"s $45^\circ$\,.\\
Weiter gilt: $\overline{CQ}=\overline{BC}-\overline{BQ}=\overline{DC}-\overline{DR}=\overline{CR}$\,. Also ist auch das Dreieck $RQC$ gleichschenklig-rechtwinklig. Dann gilt $\varphi=45^\circ$\,.\\
Am Punkt $Q$ gilt somit: $45^\circ+\psi+45^\circ=180^\circ\quad\Rightarrow\quad\psi=90^\circ.$\,.\\
Aus Symmetriegr"unden sind dann auch die drei restlichen Innenwinkel des Vierecks $PQRS$ rechte Winkel. Also handelt es sich hierbei um ein Rechteck. 
\item Eine m"ogliche Strategie: $A_{PQRS}=A_{ABCD}-2\cdot\left(A_{\Delta\,PBQ}+A_{\Delta\,RQC}\right)$\,\\

$A_{\Delta\,PBQ}=\D\frac{1}{2}\cdot\left(3\sqrt2\right)^2\,\mathrm{cm^2}=9\,\mathrm{cm^2}$\,.\\

$A_{\Delta\,RQC}=\D\frac{1}{2}\cdot\left(6-3\sqrt2\right)^2\,\mathrm{cm^2}=(27-18\sqrt2)\,\mathrm{cm^2}$\,.\\

$A_{PQRS}=36\,\mathrm{cm^2}-2\cdot[9\,\mathrm{cm^2}+(27-18\sqrt2)\,\mathrm{cm^2}]=(36\sqrt2-36)\,\mathrm{cm^2}$\,.\\

$\D\frac{A_{PQRS}}{A_{ABCD}}=\D\frac{(36\sqrt2-36)\,\mathrm{cm^2}}{36\,\mathrm{cm^2}}=
\D\frac{(36(\sqrt2-1)\,\mathrm{cm^2}}{36\,\mathrm{cm^2}}$\\

$=\sqrt2-1\approx0,4142=41,42\%$\,
\end{enumerate}
}
