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\ANG{
W"ahrend der "Ubertragung der US-Tennismeisterschaften 2003 in New York war im 
Fernsehen ein Firmenlogo zu sehen, das so "ahnlich aussah wie die Abbildung 
unten.\\
Das wei"se Viereck ist ein Quadrat. Es gilt $\overline{AB} = \overline{DF} = a
\,\mathrm{cm}$.
Zus"atzlich ist hier das Dreieck $AEF$ eigezeichnet.

\begin{center}
\EPSBASIS{jplogo_a}{6cm}{}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $\overline{FG}=3,2\,\mathrm{cm}$ so, dass die
      Strecke $[KB]$ waagrecht liegt.      
\item Berechne in deiner Zeichnung den Fl"acheninhalt Quadrates $ABCD$.
\item
      \begin{itemize}
      \item Untersuche ohne Verwendung des Taschenrechners, ob das Dreieck $AEF$
            gleichschenklig ist. Gilt dein Ergebnis auch dann noch, wenn 
	    die Figur verkleinert oder vergr"o"sert wird? Begr"unde deine
	    Ansicht.
      \item Berechne den Fl"acheninhalt dieses Dreiecks auf drei verschiedene Arten in
            Abh"angigkeit von $a$.
      \end{itemize}

\end{enumerate}

}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item $[FG]$ ist genauso lang wie die Diagonale $[AC]$ des Quadrates $ABCD$.\\
      Also gilt: $a\sqrt{2}=3,2\quad \Rightarrow\quad a = \frac{3,2}{\sqrt{2}}
      \approx 2,26$.\\
      F"ur die Zeichnung: $\overline{AF}=\overline{KB} = 2a\, \mathrm{cm} \approx
      5,52\, \mathrm{cm}$.
      \begin{center}
      \EPSBASIS{jplogo_b}{6cm}{}
      \end{center}
\item $A(ABCD) = a^2\,\mathrm{cm^2}= \left ( \frac{3,2}{\sqrt{2}}
      \right)^2\,\mathrm{cm^2}=5,12\,\mathrm{cm^2}$
\item 
      \begin{itemize}
      \item Wegen $\overline{CE}=0,5\cdot \overline{AC}$ m"usste gelten:\\
            $2a = 1,5a\sqrt 2 \quad (a\neq 0)\quad\Rightarrow\quad \sqrt{2} =
	    \frac{2}{1,5}=\frac{4}{3}$.\\
	    Weil aber $\sqrt{2}$ irrational ist, liegt hier ein Widerspruch
	    vor.\\
	    Dieser Widerspruch l"asst sich auch durch Verg"o"serung oder
	    Verkleinerung der Figur nicht aufl"osen: Jede Vergr"o"serung oder
	    Verkleinerung ist eine winkeltreue Abbildung. Wenn in der
	    Ausgangsfigur keine zwei Winkel ma"sgleich sind, dann wird dies auch
	    bei einer Gr"o"sen"anderung nicht anders.
      \item Es wird nur mit Ma"szahlen gerechnet.\\
            1. M"oglichkeit:\\
	    $A(AEF) = 0,5\overline{AE}\cdot\overline{FC}=0,5\cdot 1,5a\sqrt{2}
	    \cdot a\sqrt{2}= 1,5a^2$.\\
	    2. M"oglichkeit:\\
	    $A(AEF) = 0,5\cdot \overline{AF}\cdot \overline{EM}=0,5\cdot 2a\cdot
	    1,5a = 1,5a^2$.\\
	    3. M"oglichkeit:\\
	    Das Lot $[FC]$ zelegt das Dreieck $AEF$ in die beiden rechtwinkligen
	    Teildreiecke $ACF$ und $CEF$.\\
	    Das Dreieck $ACF$ ist so gro"s wie das Quadrat $ABCD\,$: $A(ACF) =
	    a^2$.\\
	    Weil $[FC]\parallel[HN]$ ist, folgt $A(CEF) = A(FCH) = 0,5a^2$.\\
	    $\Rightarrow\quad A(AEF) = a^2+0,5a^2 = 1,5a^2.$
      \end{itemize}

\end{enumerate}
}

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