%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh069_a1.1}
      \end{center}
Das ist das Logo einer japanischen Firma, die Speichermedien herstellt. Im Zentrum befindet sich das
gleichseitige Dreieck $ADG$. Der Umkreis mit dem Mittelpunkt $M$ wurde zusammen mit dem Umkreisradius
$r$ zus"atzlich eingezeichnet. Die
L"ange der Quadratseite $\overline{AB}$ ist $a$.
\begin{enumerate}
\item Berechne den Umkreisradius $r$ f"ur $a=4$.
\item Wie viel Prozent der Umkreisfl"ache wird von dem sechseckigen Logo bedeckt?
\end{enumerate}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh069_l1.1}
      \end{center}
      Das Logo ist mit seinem Umkreis verkleinert dargestellt.\\
      Im gleichseitigen Dreieck $ADG$ stellt die Strecke $[GT]$ die Dreiecksh"ohe dar. Dann gilt:\\
      
      $\overline{MT}=\D\frac{1}{3}\cdot\D\frac{1}{2}\cdot a\sqrt 3=\D\frac{1}{6}\cdot a\sqrt 3$.\\
      $\quad\Rightarrow\quad\overline{MK}=\D\frac{1}{6}\cdot a\sqrt 3+a=
      a\cdot\left(\D\frac{\sqrt 3}{6}+1\right)$. Weiter gilt: $\overline{CK}=\D\frac{1}{2}\cdot a$.\\
      
      Im rechtwinkligen Dreieck $MKC$ gilt:\\
      
      $r^2=\left[a\cdot\left(\D\frac{\sqrt 3}{6}+1\right)\right]^2+
      \left(\D\frac{1}{2}\cdot a\right)^2=a^2\cdot\left(\D\frac{3}{36}+
      \D\frac{\sqrt 3}{3}+1+\D\frac{1}{4}\right)$.\\
      
      $\Leftrightarrow\quad r^2=\D\frac{a^2}{3}\left(4+\sqrt 3\right)$\hfill{\bf (*)}\\
      
      $\Rightarrow\quad r=a\cdot\sqrt{\D\frac{4+\sqrt 3}{3}}\quad a=
      4\,\mathrm{cm}$: $r\approx 5,53\,\mathrm{cm}$.
\item F"ur die Fl"ache $A_{\odot}$ des Umkreises gilt dann mit \quad{\bf (*)}:\\

      $A_{\odot}=\D\frac{\pi}{3}\cdot a^2\cdot(4+\sqrt 3)$.\\
      
      Das gleichschenklige Dreieck $EDC$ hat die Schenkell"ange $a$. Es wird durch die H"ohe $[LD]$ in
      die beiden kongruenten rechtwinkligen Dreiecke $EDL$ und $LDC$ zerlegt.\\
      Es gilt: $\sphericalangle CDE=360^\circ-2\cdot 90^\circ-60^\circ=120^\circ$.\\
      $\Rightarrow\quad\sphericalangle LED =\sphericalangle CLD=(180^\circ-120^\circ):2=30^\circ$.
      Somit lassen sich die beiden H"alften des Dreiecks $EDC$ zu einem gleichseitigen Dreieck
      zusammenf"ugen, das mit dem gleichseitigen Dreieck $ADG$ kongruent ist.\\
      Um den Fl"acheninhalt des Logos zu berechnen, musst du also zu dem der drei Quadrate den
      vierfachen des gleichseitigen Dreiecks $ADG$ im Zentrum addieren.
      F"ur $A_{Logo}$ ergibt sich dann:\\
      
      $A_{Logo}=3\cdot a^2+4\cdot\D\frac{a^2}{4}\cdot\sqrt 3=3a^2+a^2\sqrt 3=a^2(3+\sqrt 3)$.\\
      
      $\D\frac{A_{Logo}}{A_{\odot}}=\D\frac{a^2(3+\sqrt 3)}{\D\frac{\pi}{3}\cdot a^2\cdot(4+\sqrt 3)}
      \approx 0,7883=78,83\%$\\
      
      Knapp $79\%$ des Umkreises werden vom TDK-Logo bedeckt.
      
	      
\end{enumerate}
}

