%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh078_a1.1}\hspace{1.5cm}
      \includegraphics{09eh078_a2.1}
      \end{center}
Das dargestellte Rechteck $ABCD$ wird so gefaltet, dass der Eckpunkt $B$ auf den
Eckpunkt $D$ zu liegen kommt. Dadurch entsteht die Faltkante $[PQ]$.
\begin{enumerate}
\item Schneide aus kariertem Papier ein Rechteck $ABCD$ mit $\overline{AB}=8\,\mathrm{cm}$ und
      $\overline{BC}=4\,\mathrm{cm}$ aus. Falte es auf die oben beschriebene Weise.
\item Zeichne die Figur oben rechts f"ur $\overline{AB}=8\,\mathrm{cm}$ und
      $\overline{BC}=4\,\mathrm{cm}$.
\item \begin{itemize}
      \item Begr"unde mit Hilfe von Winkelma"sen: Das Viereck $PBQD$ ist ein Parallelogramm.
      \item Begr"unde: Das Viereck $PBQD$ ist sogar eine Raute.
      \end{itemize}
\item Es sei $\overline{AP}=x\,\mathrm{cm}$. Zeige rechnerisch: $x=3$.
\item Berechne den Fl"acheninhalt der Raute $PBQD$ auf zwei verschiedene Arten mit Hilfe von
      Teildreiecken.
\item Berechne erneut den Fl"acheninhalt der Raute $PBQD$ mit Hilfe ihrer Diagonalenl"angen.

\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Klar.
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh078_l1.1}
      \end{center}
\item \begin{itemize}
      \item Jede Faltachse ist gleichzeitig Spiegel- bzw. Symmetrieachse.\\
            Also gilt: $\Delta PBQ\cong\Delta PQD\quad\Rightarrow\quad\varphi_1=\varphi_2$.\\
	    Wegen $[AB]\,\|\,[BD]$ folgt $\varphi_2=\varphi_3$ (Z-Winkel).\\
	    Also gilt: $\varphi_1=\varphi_3$ und damit $[BQ]\,\|\,[PD]$.\\
	    Weil gleichzeitig $[PB]\,\|\,[QD]$ gilt, sind die beiden gegen"uberliegenden Seiten jeweils
	    parallel: Das Viereck $PBQD$ muss ein Parallelogramm sein.
      \item Das Parallelogramm $PBQD$ besitzt die Symmetrieachse $PQ$. Jedes Parallelogramm mit einer
            Symmetrieachse ist eine Raute.
      \end{itemize}
\item Es gilt: $\overline{PB}=\overline{PD}=(8-x)\,\mathrm{cm}$.\\
      PYTHAGORAS im Dreieck $ABD$: $(8-x)^2=4^2+x^2$.\\
      $\Leftrightarrow\quad 64-16x+x^2=x^2+16\quad\Leftrightarrow\quad x=3$.
\item {\bf 1. M"oglichkeit:} Berechne die Fl"ache des Teildreiecks $PQD$.\\
      $A_{\Delta QPD}=\D\frac{1}{2}\cdot\overline{DQ}\cdot h$\\
      Weil jede Raute ein gleichseitiges Viereck ist, gilt $\overline{DQ}=
      8\,\mathrm{cm}-3\,\mathrm{cm}=5\,\mathrm{cm}$.\\
      Also: $A_{\Delta QPD}=\left(\D\frac{1}{2}\cdot 5\cdot
      4\right)\,\mathrm{cm^2}=10\,\mathrm{cm^2}$. Die Raute $PBQD$ ist doppelt so gro"s wie dieses
      Teildreieck:\quad $A_{PBQD}=20\,\mathrm{cm^2}$.\\
      
      {\bf 2. M"oglichkeit:} Schneide vom Rechteck $ABCD$ die beiden kongruenten Dreiecke $APD$ und
      $BCQ$ ab:\\
      $A_{PBQD}=(8\cdot 4)\,\mathrm{cm^2}-
      2\cdot\left(\D\frac{1}{2}\cdot3\cdot 4\right)\,\mathrm{cm^2}=20\,\mathrm{cm^2}$\\
\item Es gilt: $\overline{FQ}=\overline{DQ}-\overline{DF}=
      5\,\mathrm{cm}-3\,\mathrm{cm}=2\,\mathrm{cm}$.\\
      PYTHAGORAS im Dreieck $PQF$:\quad$\overline{PQ}\,^2=\left(4^2+2^2\right)\,\mathrm{cm^2}\\
      \Rightarrow\quad\overline{PQ}=\sqrt{20}\,\mathrm{cm}\,$.\\
      PYTHAGORAS im Dreieck $ABD$:\quad$\overline{BD}\,^2=\left(8^2+4^2\right)\,\mathrm{cm^2}\\
      \Rightarrow\quad\overline{BD}=\sqrt{80}\,\mathrm{cm}\,$.\\
      
      $\Rightarrow\quad A_{PBQD}=\left(\D\frac{1}{2}\cdot\sqrt{20}\cdot\sqrt{80}
      \right) \,\mathrm{cm^2}=20\,\mathrm{cm^2}$.
      

\end{enumerate}
}

