%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh079_a1.1}\hspace{1.5cm}
      \includegraphics{09eh079_a2.1}
      \end{center}
Das dargestellte Quadrat $ABCD$ wird so gefaltet, dass der Eckpunkt $C$ auf den
Mittelpunktpunkt $M$ der Seite $[AD]$ zu liegen kommt. Dadurch entsteht die Faltkante $[PQ]$.
\begin{enumerate}
\item Schneide aus kariertem Papier ein Quadrat $ABCD$ mit $\overline{AB}=6\,\mathrm{cm}$ aus.
      Falte es auf die oben beschriebene Weise.
\item Zeichne die Figur oben rechts f"ur $\overline{AB}=6\,\mathrm{cm}$.
\item Es sei $\overline{DQ}=x\,\mathrm{cm}$. Zeige rechnerisch: $x=2,25$.
\item Zeige: $\overline{DQ}:\overline{DC'}=3:4$.
\item Begr"unde: Die Dreiecke $C'QD$, $ASC'$ und $SB'P$ sind zueinander "ahnlich.
\item Berechne $\overline{AS}$.
\item Berechne den Fl"acheninhalt des Dreiecks $ASC'$.
\item Berechne $\overline{C'S}$. [Ergebnis: $\overline{C'S}=5\,\mathrm{cm}$]
\item Wie viel Prozent des Fl"acheninhaltes des Quadrates $ABCD$ liegt nach dem Falten
      unter der Kante $[AB]$?

\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Klar.
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh079_l1.1}
      \end{center}
\item Die Faltachse $PQ$ ist gleichzeitig die Spiegelachse. Jede Achsenspiegelung ist l"angen- und
      winkeltreu.
      Es gilt also $\overline{CQ}=\overline{QC'}=(6-x)\,\mathrm{cm}$.\\
      
      PYTHAGORAS im Dreieck $C'QD$: $\overline{C'Q}\,^2=\overline{C'D}\,^2+\overline{DQ}\,^2$:\\
      $(6-x)^2=x^2+3^2\quad\Leftrightarrow\quad 36-12x+x^2=x^2+9
      \quad\Leftrightarrow\quad x = 2,25$\\
\item $\overline{DQ}:\overline{DC'}=2,25:3=0,75=\D\frac{3}{4}=3:4$.\\
\item Im Dreieck $C'QD$ gilt: $\varphi_1+\psi_1=90^\circ$ (*).\\
      Am Scheitel $C'$ gilt: $\varphi_1+ 90^\circ+\psi_2=180^\circ\quad\Rightarrow\quad
      \varphi_1+\psi_2=90^\circ$.\\
      Mit (*) folgt $\psi_2 = \psi_1$. Somit stimmen die beiden rechtwinkligen Dreiecke $C'QD$
      und $ASC'$ in zwei Innenwinkelma"sen "uberein. Wegen der Innenwinkelsumme von $180^\circ$
      in jedem Dreieck m"ussen die beiden Dreiecke auch im Ma"s des dritten Innenwinkels
      "ubereinstimmen:
      $\varphi_1=\varphi_2$. Also gilt: $\Delta C'QD\sim \Delta ASC'$.\\
      Im Dreieck $SB'P$ gilt: $\sphericalangle B'SP =\varphi_2$ (Scheitelwinkel)
      $=\varphi_1$. Die beiden Dreiecke $ASC'$ und $SB'P$ sind rechtwinklig.
      Also sind sie zueinander "ahnlich. Also sind alle drei Dreiecke zueinander "ahnlich.
\item In der L"osung (d) wurde gezeigt, dass $\overline{DQ}:\overline{DC'}=3:4$ gilt.\\
      Wegen der "Ahnlichkeit der beiden Dreiecke $C'QD$ und $ASC'$ muss ebenso
      $\overline{AC'}:\overline{AS}=3:4$ gelten.\\
      Also: $\D\frac{3}{\overline{AS}}=\D\frac{3}{4}\quad\Leftrightarrow\quad\overline{AS}=
      4\,\mathrm{cm}$.
\item $A_{\Delta ASC'}=\D\frac{1}{2}\cdot \overline{AS}\cdot \overline{AC'}
      =\D\frac{1}{2}\cdot(4\cdot 3)\,\mathrm{cm^2}=6\,\mathrm{cm^2}$.
\item PYTHAGORAS im Dreieck $ASC'$:\\
      $\overline{C'S}\,^2=\overline{AS}\,^2+\overline{AC'}\,^2$:\quad 
      $\overline{C'S}\,^2=3^2\,\mathrm{cm^2}+4^2\,\mathrm{cm^2}\quad\Rightarrow\quad
      \overline{C'S}=5\,\mathrm{cm}$ 
\item $\overline{SB'}=\overline{C'B'}-\overline{C'S}$\\
      Wegen $\overline{C'B'}=\overline{CB}=6\,\mathrm{cm}$ folgt:
      $\overline{SB'}=6\,\mathrm{cm}-5\,\mathrm{cm}=1\,\mathrm{cm}$.\\
      Wie vorher in (e) dargelegt, gilt $\Delta ASC'\sim\Delta SB'P$.\\
      
      Weiter gilt: $\D\frac{\overline{SB'}}{\overline{AS}}=\D\frac{1}{4}$.\\
      
      Der Streckungsfaktor $k$ betr"agt hier also $\D\frac{1}{4}$.\\
      
      $A_{\Delta SB'P}=\left(\D\frac{1}{4}\right)^2\cdot A_{\Delta ASC'}\quad\Rightarrow\quad
      A_{\Delta SB'P}=\D\frac{1}{16}\cdot 6\,\mathrm{cm^2}=0,375\,\mathrm{cm^2}$\\
      
      $\D\frac{A_{\Delta SB'P}}{A_{ABCD}}=\D\frac{0,375\,\mathrm{cm^2}}{36\,\mathrm{cm^2}}\approx
      0,0104=1,04\%$.
\end{enumerate}
}

