%
\ANG
{
\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh104.1}
      \end{center}
Das Rechteck $ABCD$ wurde an seiner Diagonalen $[AC]$ gespiegelt. Dadurch ist das
Viereck $AD\,'CB\,'$ entstanden. Es gilt: $x=\overline{SB\,'}$.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $a=\overline{AB}=8\,\mathrm{cm}$ und
      $b=\overline{BC}=6\,\mathrm{cm}$.
\item \begin{itemize}
       \item Berechne die Seitel"ange $\overline{SC}$  in Abh"angigkeit von $x$ 
             auf verschiedene Weise.
       \item Zeige dann:
             \begin{center}
             $x=\D\frac{a^2-b^2}{2a}$.
             \end{center}
        \end{itemize}
\item Zeige: F"ur den Fl"acheninhalt $A$ des Dreiecks $ACS$ gilt:
      \begin{center}
       $A_{\Delta ACS}=\D\frac{b}{4a}\cdot(a^2+b^2)$.
      \end{center}
\item \begin{itemize}
      \item Zeichne die Strecke $[B\,'D]$ ein.
      \item Begr"unde: Das Viereck $ACB\,'D$ ist ein Trapez.
      \end{itemize}
\item Zeige: F"ur den Fl"acheninhalt $A$ des Dreiecks $DSB\,'$ gilt:
      \begin{center}
       $A_{\Delta DSB\,'}=\D\frac{b}{4a}\cdot\D\frac{(a^2-b^2)^2}{a^2+b^2}$.
      \end{center}
\item Zeige: F"ur den Fl"acheninhalt $A$ des Trapezes $ACB\,'D$ gilt:
      \begin{center}
            $A_{ACB\,'D}=ab\cdot\D\frac{a^2}{a^2+b^2}$.
      \end{center}
      \begin{tabular}{l c l}
       Tipps: & -- & Das Trapez wird durch seine beiden Diagonalen in vier Teil-\\
              &    & dreiecke zerlegt.\\
              & -- & Zwei Dreiecke davon sind kongruent, die beiden anderen sind \\
              &    & zueinander "ahnlich.\\
              & -- & Den Fl"acheninhalt des Trapezes $ACB\,'D$ erh"altst du aus der\\
              &    & Summe der Fl"acheninhalte der vier Teildreiecke.
      \end{tabular}
\item In welchem Verh"altnis m"ussen die Seitenl"angen $a$ und $b$ des Rechtecks $ABCD$ stehen, damit
      der Fl"acheninhalt des Trapezes $ACB\,'D$ um $10\%$ kleiner als der des Rechtecks $ABCD$ wird?
\item Untersuche, ob der Fl"acheninhalt des Trapezes $ACB\,'D$ genau so gro"s wie der des Rechtecks
      $ABCD$  werden kann.
\item Untersuche rein elementargeometrisch anhand des Winkels BAC mit dem Ma"s $\varepsilon$, ob das
      Trapez $ACB\,'D$ auch zum Rechteck werden kann.
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh104_l1.1}
      \end{center}
\item Das Spiegelbild des Rechtecks $ABCD$ ist das kongruente Rechteck $AD\,'CB\,'$.\\
      Also gilt: $\overline{CB}=\overline{CB\,'}=\overline{AD}=b$.\\
      Die beiden rechtwinkligen Dreiecke $ASD$ und $SCB\,'$ stimmen also in der Seitenl"ange
      $b$ "uberein.\\
      Weiter gilt: $\psi=\psi*$ (Scheitelwinkel) $\quad\Rightarrow\quad\varphi=\varphi*$.\\
      Damit sind die beiden Dreiecke $ASD$ und $SCB\,'$ kongruent. Insbesondere gilt dann
      $\overline{AS}=\overline{CS}$ und $\overline{DS}=\overline{SB\,'}=x$.\\
      \begin{itemize}
       \item Einerseits gilt dann im Dreieck $SCB\,'$: $\overline{CS}=\sqrt{b^2+x^2}$\\
             Andererseits gilt: $\overline{CS}=a-x$
       \item $\sqrt{b^2+x^2}=a-x\,\mid\,^2\quad\Rightarrow\quad b^2+x^2=a^2-2ax+x^2
             \quad\Leftrightarrow\quad x=\D\frac{a^2-b^2}{2a}$
        \end{itemize}
\item $A_{\Delta ACS}=A_{\Delta ACD}-A_{\Delta ASD}$\\
      $A_{\Delta ACS}=\D\frac{1}{2}\,ab-\D\frac{1}{2}\,bx=\D\frac{b}{2}\cdot
      \left(a-\D\frac{a^2-b^2}{2a}\right)=\D\frac{b}{2}\cdot\D\frac{2a^2-a^2+b^2}{2a}
      =\D\frac{b}{4a}\cdot(a^2+b^2)$
\item \begin{itemize}
      \item Siehe Zeichnung.
      \item Aufgrund der Eigenschaften der Achsenspiegelung sind die beiden Dreiecke $ACB\,'$
            und $ACD$ kongruent. Sie besitzen die gemeinsame Hypotenuse $[AC]$. Also sind die
	    beiden H"ohen $[DF]$ und $[B\,'F\,']$ gleich lang. Das bedeutet, dass die beiden
	    Punkte $D$ und $B\,'$ den gleichen Abstand zur Strecke $[AC]$ besitzen.\\
	    Also folgt: $[B\,'D]\,\|\,[AC]$. Also ist das Viereck $ACB\,'D$ ein
	    (gleichschenkliges) Trapez.
      \end{itemize}
\item Die beiden Dreiecke $ACS$ und $DSB\,'$ sind zueinander "ahnlich; d.h.:\\
      $A_{\Delta DSB\,'}=k^2\cdot A_{\Delta ACS}$ mit $k=
      \D\frac{\overline{DS}}{\overline{CS}}$\\
      
      $k=\D\frac{x}{a-x}=\D\frac{a^2-b^2}{2a}:\left(a-\D\frac{a^2-b^2}{2a}\right)
      =\D\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$\\
      
      $A_{\Delta DSB\,'}=\left(\D\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\right)^2\cdot\D\frac{b}{4a}
      \cdot(a^2+b^2)=\D\frac{b}{4a}\cdot\D\frac{(a^2-b^2)^2}{a^2+b^2}$.
\item \begin{eqnarray*}
      A_{Trapez} & = & 2\cdot \D\frac{1}{2}\cdot x\cdot b+\D\frac{b}{4a}\cdot (a^2+b^2)
                       +\D\frac{b}{4a}\cdot\D\frac{(a^2-b^2)^2}{a^2+b^2}\\
		 & = & \D\frac{2b}{4a}\cdot (a^2-b^2)+ \D\frac{b}{4a}\cdot (a^2+b^2)
		       +\D\frac{b}{4a}\cdot\D\frac{(a^2-b^2)^2}{a^2+b^2}\\
		 & = & \D\frac{b}{4a}\cdot\D\frac{2(a^2-b^2)\cdot (a^2+b^2)+(a^2+b^2)^2
		       +(a^2-b^2)^2}{a^2+b^2}\\
		 & = & \cdots\\	 
		 & = & \D\frac{b}{4a}\cdot\D\frac{4a^4}{a^2+b^2} = 
		       ab\cdot\D\frac{a^2}{a^2+b^2}            
      \end{eqnarray*}
\item Es muss gelten: $A_{Trapez}=0,9\cdot A_{ABCD}$. Also:\\

      $ab\cdot\D\frac{a^2}{a^2+b^2}=0,9\cdot ab\quad\Leftrightarrow\quad
      \D\frac{a^2}{a^2+b^2}=0,9\quad\Leftrightarrow\quad0,1a^2=0,9b^2$\\
      
      Wegen $a,b>0$ folgt dann $a=3\cdot b$.
      
\item Es muss gelten: $ab\cdot\D\frac{a^2}{a^2+b^2}=ab\quad\Leftrightarrow\quad
      \D\frac{a^2}{a^2+b^2}=1$.\\
      
      Ein Bruch hat aber genau dann den Wert 1, wenn Z"ahler und Nenner gleich sind:\\
      $a^2=a^2+b^2\quad\Rightarrow\quad b=0\,(\dag)$. Dann w"urde das Rechteck zur Strecke
      entarten; ein solches Trapez gibt es nicht.
\item Es gilt: $\sphericalangle DCA=\varepsilon$ (Z-Winkel).\\
      Weiter gilt:$\sphericalangle BAS=\psi=2\cdot\varepsilon$ (F-Winkel).\\
      Ebenso folgt: $\varphi =90^\circ -2\varepsilon$ (Innenwinkelsumme im Dreieck $SCB\,'$).\\
      Damit das Trapez $ACB\,'D$ zum Rechteck wird,  muss $\varphi
      +\varepsilon=90^\circ$ gelten.\\
      Das bedeutet: $90^\circ -2\varepsilon +\varepsilon=90^\circ\quad\Leftrightarrow\quad
      \varepsilon=0^\circ$. Wieder w"urde das Rechteck zur Strecke entarten; 
      d.h.ein solches Trapez gibt es nicht. 
\end{enumerate}

}
