%
\ANG
{
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck $ABC$ mit den Kathetenl"angen $\overline{AB}=6\,\mathrm{cm}$ und $\overline{BC}=4\,\mathrm{cm}$\,.
\begin{enumerate}
\item Zeichne dieses Dreieck, so dass die Kathete $[AB]$ waagrecht liegt.
\item Punkte $P_n$ wandern auf der Seite $[AB]$ und Punkte $Q_n$ wandern gleichzeitig auf der Seite $[BC]$\,, wobei $\overline{AP_n}=\overline{BQ_n}=x\,\mathrm{cm}$ gilt. Dadurch entstehen Vierecke $AP_nQ_nC$\,.\\
Zeichne f"ur $x=1,5$ das Viereck $AP_1Q_1C$ ein.
\item Gib die Menge aller m"oglichen Belegungen von $x$ an.
\item Unter allen Vierecken $AP_nQ_nC$ gibt es das Trapez $AP_2Q_2C$\,.
\begin{itemize}
\item Berechne die zugeh"orige Belegung von $x$\,.
\begin{center}
[ Ergebnis: $x=2,4$ ]
\end{center}
\item Zeichne dieses Trapez in anderer Farbe ein.
\item Berechne den Fl"acheninhalt dieses Trapezes. {\bf Tipp:} Berechne zun"achst den Fl"acheninhalt des Dreiecks $P_2BQ_2$\,.
\item Berechne die H"ohe $h$ dieses Trapezes $AP_2Q_2C$\,. Runde dein Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma.
\end{itemize}
\item Zeige: F"ur den Fl"acheninhalt $A$ der Vierecke $AP_nQ_nC$ gilt in Abh"angigkeit von $x$:
\begin{center}
$A(x)=(0,5x^2-3x+12)\,\mathrm{cm^2}$\,\,.
\end{center}
\item Unter allen Vierecken $AP_nQ_nC$ gibt es das Viereck $AP_2Q_2C$, das den minimalen Fl"acheninhalt besitzt.\\
Berechne dieses Minimum und die zugeh"orige Belegung von $x$\,.
\item Untersuche, ob es unter allen Vierecken $AP_nQ_nC$ achsensymmetrische gibt.
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh132_l1.1}
      \end{center}
\item Siehe Zeichnung.
\item Auf der Kathete $[BC]$ kann $x$ nicht l"anger als $4\,\mathrm{cm}.$ werden. F"ur $x=0$ und $x=4$ gibt es kein Viereck. Also: $x\in \,\,]\,0;\,4[_{\RR}$\,.
\item
\begin{itemize}
\item Ein Viereck, darf sich dann Trapez nennen, wenn es zwei parallele Seiten besitzt. In der Zeichnung ist das Trapez $AP_2Q_2C$ vorhanden. Du siehst, dass die Dreiecke $P_2BQ_2$ und $ABC$ dann zueinander "ahnlich sind. Wende den Vierstreckensatz an, wobei die Variable $x$ mit eingebunden sein muss:\\

$\D\frac{6-x}{x}=\D\frac{6}{4}\quad\Leftrightarrow\quad24-4x=6x\quad\Leftrightarrow\quad24=10x
\quad\Leftrightarrow\quad x=2,4$\,.\\
\item Siehe Zeichnung.
\item $A_{\Delta\,P_2BQ_2}=0.5\cdot3,6\cdot2,4\,\mathrm{cm^2}=4,32\,\mathrm{cm^2}$\,.\\
$A_{\Delta\,ABC}=0.5\cdot6\cdot4\,\mathrm{cm^2}=12\,\mathrm{cm^2}$\,.\\
$A_{AP_2Q_2C}=A_{\Delta\,ABC}-A_{\Delta\,P_2BQ_2}=12\,\mathrm{cm^2}-4,32\,\mathrm{cm^2}=7,68\,\mathrm{cm^2}$\,.
\item $\overline{AC}=\sqrt{6^2+4^2}\,\mathrm{cm}=\sqrt{52}\,\mathrm{cm}\,(\approx7,21\,\mathrm{cm})$\,.\\
$\overline{P_2Q_2}=\sqrt{3,6^2+2,4^2}=\sqrt{18,72}\,\mathrm{cm}\,(\approx4,33\,\mathrm{cm})$\,.\\

$A_{AP_2Q_2C}=\D\frac{\sqrt{52}\,\mathrm{cm}+\sqrt{18,72}}{2}\cdot h=7,68\,\mathrm{cm^2}
\quad\Rightarrow\quad h\,\approx1,33\,\mathrm{cm}$\,.\\
\end{itemize}
\item $A(x)=A_{AP_nQ_nC}=0.5\cdot\overline{AB}\cdot\overline{BC}-
0.5\cdot\overline{P_nB}\cdot\overline{BQ_n}$\\
$A(x)=12\,\mathrm{cm^2}-0.5\cdot(6-x)\cdot x\,\mathrm{cm^2}=(12-3x+0,5x^2)\,\mathrm{cm^2}$\,.\\
Also gilt: $A(x)=(0,5x^2-3x+12)\,\mathrm{cm^2}$\,\,.
\item 
$A(x)=(0,5x^2-3x+12)\,\mathrm{cm^2}=0.5\cdot(x^2-6x+3^3-9+24)\,\mathrm{cm^2}\\=0.5\cdot[(x-3)^2+15]\,\mathrm{cm^2}=
[-0.5\cdot(x-3)^2+7,5]\,\mathrm{cm^2}$\,.\\
$x=3$ liefert $A_{\mathrm{min}}=7,5\,\mathrm{cm^2}$\,.
\item Die Symmetrieachse m"usste entweder durch zwei Eckpunkte des fraglichen Vierecks oder durch zwei seiner Seitemittelpunkte verlaufen. Der Verlauf durch zwei Eckpunkte ist offensichtlich ausgeschlossen.\\
Im anderen Fall m"usste die Symmetrieachse die gemeinsame Mittelsenkrechte zweier Vierecksseiten sein. Diese Vierecksseiten m"ussten dann aber zueinader parallel sein. Also w"are das gesuchte achsensymmetrische Viereck ein gleichschenkliges Trapez.\\
Da es aber nur nur ein Trapez, n"amlich $AP_2Q_2C$, gibt und $\overline{AP_2}=2,4\,\mathrm{cm}\neq\overline{CQ_2}=1,6\,\mathrm{cm}$ gilt, gibt es unter allen Vierecken $AP_nQ_nC$ kein achsensymmetrisches.

\end{enumerate}
}
