%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh135_a1.1}
      \end{center}
Das Viereck $ABCD$ ist ein Quadrat. Jede Quadratseite ist in drei Abschnitte eingeteilt, die jeweils $2\mathrm{cm}$ lang sind. Die Zeichnung ist nicht ma"sstabsgerecht.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur.
\item Begr"unde: Das Viereck $PQRS$ besitzt zwei parallele Seiten.
\item Berechne den Fl"acheninhalt des Vierecks $PQRS$ auf zwei verschiedene Arten:
\begin{itemize}
\item Mit Hilfe der Berechnung der zugeh"origen Formelgleichung
\item Mit Hilfe der Berechnung des Fl"acheninhalts rechtwinkliger Dreiecke .
\end{itemize}
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item
       \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh135_l1.1}
      \end{center}
\item Das Dreieck $SRD$ ist gleichschenklig-rechtwinklig\,.$\quad\Rightarrow\quad\psi_1=45^\circ$\,.\\
Dann gilt auch $\psi_2=45^\circ$ (Z-Winkel) \,.\\
Das Dreieck $PBQ$ ist gleichschenklig-rechtwinklig\,.$\quad\Rightarrow\quad\varphi=45^\circ$\,.\\
Also folgt: $[PQ]\,\|\,[SR] \,.\\$\, Das Viereck $PQRS$ ist ein (achsensymmetrisches) Trapez..
\item 
\begin{itemize}
\item 
\mbox{}\\
F"ur die Trapezfl"ache $A$ gilt: $A_{PQRS}=\D\frac{\overline{SR}+\overline{PQ}}{2}\cdot\overline{KL}$\,.\\

Die Strecke $[SR]$ ist die Diagonale eines Quadrates mit der Seitenl"ange $4\,\mathrm{cm}$\,.
Also folgt: $\overline{SR}= 4\sqrt2\,\mathrm{cm}$\,.\\
$[DK]$, $[NB]$ und $[PQ]$ sind jeweils Diagonalen eines Quadrates mit der Seitenl"ange $2\,\mathrm{cm}$\,.\\
Also folgt: $\overline{DK}=\overline{NB}=\overline{PQ}=2\sqrt2\,\mathrm{cm}$\, und $\overline{LB}=\sqrt2\,\mathrm{cm}$\,.\\
Im Quadrat $ABCD$ gilt: $\overline{DB}=6\sqrt2\,\mathrm{cm}$\,.\\
Damit gilt: $\overline{KL}= 6\sqrt2\,\mathrm{cm}-2\sqrt2\,\mathrm{cm}-\sqrt2\,\mathrm{cm}=3\sqrt2\,\mathrm{cm}$\,.\\

Und damit gilt: $A_{PQRS}=\D\frac{4\sqrt2\,\mathrm{cm}+2\sqrt2\,\mathrm{cm}}{2}\cdot3\sqrt2\,\mathrm{cm}
=18\,\mathrm{cm^2}$\,.\\ 
\item Das Trapez $PQRS$ ist von vier rechtwinkligen Dreiecken eingeschlossen. Zwei von ihnen sind kongruent.\\
$A_{PQRS}=A_{ABCD}-2\cdot A_{\Delta\,APS}-A_{\Delta\,SRD}-A_{\Delta\,PBQ}$\,.\\

$A_{PQRS}=36\,\mathrm{cm^2}-2\cdot\D\frac{1}{2}\cdot2\cdot4\,\mathrm{cm^2}-\D\frac{1}{2}\cdot4\cdot4\,\mathrm{cm^2}
-\D\frac{1}{2}\cdot2\cdot2\,\mathrm{cm^2}=18\,\mathrm{cm^2}$\,.
\end{itemize}
\end{enumerate}
}
