%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh136_a1.1}
      \end{center}
Das Viereck $ABCD$ ist ein Quadrat mit der Seitenl"ange $a$\,.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $a=6\,\mathrm{cm}$ und $\overline{PB}=2,5\,\mathrm{cm}$\,.
\item Begr"unde ohne Messung: Die Diagonale $[DP]$ ist keine Symmetrieachse im Viereck $APQD$.
\item Begr"unde: Die beiden Dreiecke $PBC$ und $DQC$ sind zueinander "ahnlich.
\item Berechne den Anteil der Fl"ache des Vierecks $APQD$ an der Fl"ache des Quadrates $ABCD$ in Prozent. Runde dein Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma.
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item
       \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh136_l1.1}
      \end{center}
\item Die Kathete $\overline{AD}$ im rechtwinkligen Dreieck $APD$ besitzt die L"ange $a$. Die Hypotenuse $\overline{DC}$ im rechtwinkligen Dreieck $DQC$ hat ebenfalls die L"ange $a$. Weil aber in jedem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse die l"angste Seite darstellt, gilt: $\overline{DQ}<a=\overline{AD}$. Somit kann die Diagonale $\overline{DP}$ im Viereck $APQD$ nicht Symmetrieachse dieses Vierecks sein.
\item In den beiden rechtwinkligen Dreiecken $DQC$ und $PBC$ gilt: $\varphi_1=\varphi_2$ (Z-Winkel). Damit stimmen die beiden Dreiecke paarweise in zwei Innenwinkelma"sen "uberein. Wegen der Innenwinkelsumme von $180^\circ$ in jedem Dreieck stimmen diese beiden Dreiecke in allen drei Innenwinkelma"sen "uberein. Also gilt: $\Delta\,PBC\,\sim\,\Delta\,DQC$\,.
\item Strategie: $A_{APQD}=A_{ABCD}-(A_{\Delta\,PBC}+A_{\Delta\,DQC})$\,.\\

$A_{\Delta\,PBC}=\D\frac{1}{2}\cdot2,5\cdot6\,\mathrm{cm^2}=7,5\,\mathrm{cm^2}$\,.\\

Wegen (c) folgt: $A_{\Delta\,DQC}=k^2\cdot A_{\Delta\,PBC}$ mit dem Streckungsfaktor $k$\,.\\

Mit $k=\D\frac{\overline{DC}}{\overline{PC}}$\quad folgt: \quad $k=\D\frac{6\,\mathrm{cm}}{\sqrt{2,5^2+6^2}\,\mathrm{cm}}=
\D\frac{12}{13}$\,.\\

$\Rightarrow\quad A_{\Delta\,DQC}=
\left(\D\frac{12}{13}\right)^2\cdot7,5\,\mathrm{cm^2}=\D\frac{144}{169}\cdot7,5\,\mathrm{cm^2}$\,.
\begin{eqnarray*}
A_{APQD} & = & 36\,\mathrm{cm^2}-\left(7,5\,\mathrm{cm^2}+\D\frac{144}{169}\cdot7,5\,\mathrm{cm^2}\right)\\
         & = & 36\,\mathrm{cm^2}-\D\frac{313}{169}\cdot7,5\,\mathrm{cm^2}\\
\D\frac{A_{APQD}}{A_{ABCD}} & = & \D\frac{6084-2374,5}{169\cdot36}= \D\frac{3707,5}{6084}\,\approx\,0,6094=60,94\%\,.
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
}
