
%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{09eh029_a.1}
      \end{center}
Der Kreisbogen $b$ von $B$ nach $D$ im Quadrat $ABCD$ mit der Diagonalenl"ange $2a$ besitzt den Mittelpunkt $A$.\\
In der Figur ist eine M"oglichkeit dargestellt, wie die Mittelpunkte $M_1$ und $M_2$ der beiden
einbeschriebenen Kreise $k_1$ und $k_2$ mit den Radien $R$ bzw. $r$ konstruiert werden k"onnen.
\begin{enumerate}
      \item
      \begin{itemize}
            \item Beschreibe die einzelnen Konstruktionsschritte in der richtigen Reihenfolge.
            \item Konstruiere die Figur mit den einbeschriebenen Kreisen $k_1$ und $k_2$ f"ur $a=6\,\mathrm{cm}$.
      \end{itemize}
      \item Berechne die Kreisradien $R$ und $r$ in Abh"angigkeit von $a$. Best"atige damit, dass diese Konstruktion
            der einbeschriebenen Kreise korrekt ist.\\
	    {\bf Tipp:} Zeichne die Ber"uhrradien der Kreisline $k_2$ an die Seiten $[BC]$ und $[DC]$ ein.
\end{enumerate}

}

\LSG{\mbox{}
\begin{enumerate}
      \item
            \begin{itemize}     
	    \item \mbox{}
	    \begin{itemize}
	    \item[--]Zeichne Das Quadrat $ABCD$ mit seinen Diagonalen und dem Kreisbogen $b$
	    \item[--]$b\cap [AC]=\{T\}$
	    \item[--]Zeichne die Tangente $t$ an diesen Kreisbogen im Punkt T
	    \item[--]$t\cap [DC]=\{P\}$ und $t\cap [BC]=\{Q\}$
	    \item[--]Die Senkrechten auf die Seiten $[AC]$ und $[BC]$ im Punkt $P$ bzw. $Q$ schneiden sich im Mittelpunkt
	             $M_1$
            \item[--]Der Kreis um den Punkt $M_1$ mit dem Radius $\overline{M_1Q}$ schneidet die Diagonale $[AC]$ im
	             Kreismittelpunkt $M_2$
	    \item[--]$R=\overline{M_1T}$ und  $r=\overline{M_2T}$
	    \end{itemize}
	    \item Konstruktion: Die Diagonalen sind $2a=12\,\mathrm{cm}$ lang, sie stehen aufeinander senkrecht und sie
	          halbieren sich. Die restlichen Konstruktionsschritte sind oben angef"uhrt.
	    \end{itemize}
      \item \mbox{}
            \begin{center}
            \includegraphics{09eh029_l1.1}
	    \end{center}
	    Das Dreieck $PQC$ ist gleichschenklig-rechtwinklig.\\
	    Dort gilt: $\overline{TC}=\overline{AC}-\overline{AT}=2a-a\sqrt 2$.\\
	    Das Viereck $M_1QCP$ ist ein Quadrat. Also gilt dort:\\
	    $\overline{M_1T}=\overline{TC}=2a-a\sqrt 2=R$.\\
	    
	    $\overline{M_1Q}=\overline{M_1M_2}=\overline{PC}=\overline{TC}\cdot\sqrt 2=(2a-a\sqrt 2)\sqrt 2=2a\sqrt 2-2a$.\\
	    $r=\overline{M_2T}=\overline{M_1M_2}-\overline{M_1T}=\overline{M_1M_2}-\overline{TC}=2a\sqrt 2-2a-(2a-a\sqrt
	    2)$\\
	    $r=3a\sqrt 2-4a$\\
	    
	    Die beiden Ber"uhrradien $r$ erzeugen das Quadrat $M_2RCS$. Dann m"usste aber gelten: $\overline{M_2C}=r\sqrt
	    2$.\\
	    Nun ist $\overline{M_2C}=\overline{M_1C}-\overline{M_1M_2}=2\cdot\overline{TC}-\overline{M_1M_2}$\\
	    $\Rightarrow\quad\overline{M_2C}=2\cdot(2a-a\sqrt 2)-(2a\sqrt 2-2a)=4a-2a\sqrt 2-2a\sqrt 2+2a$
	    $\Rightarrow\quad\overline{M_2C}=6a-4a\sqrt 2=(3a\sqrt 2-4a)\cdot\sqrt 2=r\cdot\sqrt 2$, was zu zeigen war.\\
	    
	    Analog m"usste nun gelten: $\overline{M_1A}=R\sqrt 2$:\\
	    $\overline{M_1A}=\overline{AC}-\overline{CM_1}=2a-2\cdot\overline{TC}=2a-2\cdot(2a-a\sqrt 2)=2a\sqrt 2-2a$\\
	    $\overline{M_1A}=(2a-a\sqrt 2)\sqrt 2=R\sqrt 2$, was zu zeigen war.
\end{enumerate}
}                       
